|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы вУз = йа = - 1. Вторая точка останавливается при г'а = 0, т. е. при 1=1. Путь, пройденный второй точкой, измеряется площадью четверти круга 5з = -- 0Л1] OAf.j = Путь, пройденный за это же время первой точкой, движущейся равноускоренно, равен где Wy - искомая величина ускоре1Щя первой точки. По условию, пути, пройденные обеими точками к этому моменту равны, так как первая точка догоняет в этот мо.мент вторую точку. Следовательно, Si = Sa и Отсюда определяется модуль ускорения первой точки т. г о начала движения до момента, когда величины скоростей обеих точек равны. Считать известными i>o h- Решение. Рассмотрим произвольное положение второй точки М, которое она занимает в некоторый момент времени i (рис. б). 1. Отрезок MN равен модулю скорости второй точки tj, отрезок ON соответствует времени t; радиус OJH равен, с одной стороны, величине начальной скорости второй точки Vo, а с другой - времени когда вторая точка ocraiaвливается. Тогда V. . t cosa= -, sina = ~. Возводя эти два равенства в квадрат и складывая, находим: откуда модуль скорости второй точки в любой моменг времени равен проекция ускорения второй точки, движущейся прямолинейно, на направлеш1е движения будет: Для приобретения навыков в р с hi е н и и задач на определение скорости и ускорения точки рекомендуется решить следующие з а д а ч и и з С б о р и и к а з а д а ч по теоретической механике И. В. Меш,ерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 322, 323, 325, 330, 341, 346, 352, 353, 363, 367, 370, 371, 372, 373, 374. 3. Величина скорости первой точки в любой момент времени t равна Величина скорости второй точки была найдена выше: Приравгишая эти два значения модуля скорости, определяем тот момент времени Т, когда неличигн.! скоростей обеих точек одинаковы: Т - У^У-у т- После несложных иреобразсванпй имеем окончательно: ГЛАВА IV ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Простейшими движе1шями твердого тела являются поступательное движение и вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, нроведенная в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному направлению. Траектории точек при этом движении представляют собой одинаковые кривые, которые могут быть получены одна из другой путем параллельного смещения. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент геометрически равны. Следовательно, при исследовании поступательного движения твердого тела достаточно определить движение одной какой-либо точки тела. Таким образом, задача о поступательном движении твердого тела сводится к задаче кинематики точки. При враще1ши твердого тела вокруг неподвижной оси точки, лежащие на оси вравгения, неподвижны, остальные точки описывают окружности с центрами, находящимися на оси вращения и с радиусами, равными длине перпендикуляра, опущенного из точки на ось вращения. Эти окружности расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. В данной главе мы рассмотрим враще1ше твердого тела вокруг неподвижной оси и преобразование простейших движегшй твердых тел. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси криволинейная координата любой точки, движущейся по окружности, являющейся ее траекторией, определяется формулой a=Jo + % (1*) где а - дуговая координата движущейся точки, - начальное значение дуговой координаты, h - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения, <р - угол поворота твердого тела вокруг оси. Угол поворота связан со временем зависимостью <Р=/(0, (*) называемой уравнением врсчцения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угол 9 называется угловым перемещением твердого тела, вращающегося вокруг ненотвижной оси за данный промежуток нре-Meiui. Измеряется угол ср следующим образом: проводим неподвижную плоскость N через ось враш,ения Oz и неподвижную прямую Ох, подвижную плоскость М, жестко связанную с вращающимся телом, проводим через ось врап;енля Oz и какую-либо точку твердого тела. Тогда двугранный угол между этими плоскостями определяет полностью положение твердого тела (рис. 4.1). Линейный угол поворота 9 измеряется в радианах или в оборотах. Один оборот соответствует 2г радианам. Угловая скорость твердого тела характеризует быстроту изменения угла поворота твердого тела. Угловая скорость - вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, с которой вращение видно происходящим против часовой стрелки (для правой системы осей). Так, на рис. 4.1 вектор угловой скорости должен быть направлен в положительном направлении оси Z, если угол ср увеличивается, и в отрицательном направлении оси z, если угол ср уменьшается. Проекция угловой скорости на ось вращения z равна производной от угла поворота по времени
elif . (3*) При отсчете угла поворота к радианах и измерении времени в секундах угловая скорость измеряется в сек~. В технике угловую скорость часто определяют числом оборотов в минуту (п об!мин). Связь между этими единицами измерения дается формулой s> = ,gceK-=-ccK-K (4*) Для характеристики быстроты изменения угловой скорости во времени служит угловое ускорение. Угловое ускорение - вектор, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости, если вращение ускоренное, и нанранлепный прямо противоположно угловой скорости, если вращение замедленное. Проекция углового ускорения па ось вращения pjBiia производной от проекции угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени: d<, da -di-dt При отсчете угла поворота в радианах и измерении времени в секундах угловое ускорение измеряется в сек' -. Если угловая скорость о^ постоянна, то вращение называется равномерным и происходит но закону Если угловое ускорение - неличина постоянная, то вращение называется равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) и происходит согласно уравнениям: . о. + М, (7*) 9 = го + о. + 2-. Если знаки и совпадают, то вращение равноускоренное, в противном случае - равнозамедленное. Проекция скорости точки твердого тела на касательную к окружности, направленную в сторону возрастания дуговой координаты а, дается выражением -=ш = - (*) Скорость точки твердого тела определяется векторной формулой Ф==0)ХЛ (10*) где г - радиус-вектор, проведенный из любой точки, лежантей на оси вращения, к рассматриваемой точке твердого тела. Ускорение точки твердого тела складывается нз нормального ускорения и касательного ускорения. Нормальное ускорение направлено от точки по перпендикуляру к оси вращения, в сторону этой оси, а его модуль равен гг) = ~ = ш^й. (11*) Касательное ускорение напраплепо по касательной к траектории, а его проекция на касательную равна w, = -=e,h. (12*) Модуль полного ускорения точ1:и w=Y wl -wl = h K * + e. (13*) Здесь знак проекции у и можно опустить, так как u) = ± = zt е и, следовательно, ш1 = ), ej. = в'. Полное ускорение составляет угол а с перпендикуляром, опущенным из точки на ось враигения, причем угол а отсчитывается от ускорения точки к иергюидпкуляру (-90° г^а 90 ). При этом tgo.==- = . (14*)  Часто показывают направление врантения и нанравление углового ускорения дуговыми стрелками ш и s (рис. 4.2). Направление дуговой стрелки u) показывает направление врап1ення и определяет направление скоростей всех точек твердого тела (рис. 4.2). Если дуговые стрелки ш и е одного направления, то вращение ускоренное, угловая скорость твердого тела возрастает. Если дуговые стрелки ш и е противоположно направлены, то вращение замедленное, угловая скорость твердого тела уменьшается. Направление е определяет направление касательного ускорения точек твердого тела (рис. 4.2). В этом параграфе решаются задачи на определение проекций угловой скорости и углового ускорения твердого тела на ось вращения по заданному уравнению движения. Эта задача сводится к дифференцированию угла поворота по времени. Обратная задача - определение закона вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, если известно его угловое ускорение или угловая скорость. Эта задача решается интегрированием и последующим определением произвольных постоянных интегрирования но начальным условиям движения. Зная угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, можно определять скорости и ускорения отдельных точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осн. При решении задач на вращениетвердого тела вокруг неподвижной оси рекомендуется придерживаться такой последовательности действий. Первый тип задач-дано уравнение вращения твердого тела, требуется определить угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение точки твердого тела: 1) выбираем систему координат так, чтобы одна из осей (для определенности ось z) совпадала с осью вращения; 2) составляем уравнение вращения твердого тела (зависимость угла поворота от времени); 3) дифференцируя по времени угол поворота, определяем проекцию угловой скорости на ось вращения; 4) вычисляя вторую производную от угла поворота по времени, находим проекцию углового ускорения па ось вращения; 5) пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем линейную скорость точки и ее нормальное ускорение; 6) пользуясь выражением проекции углового ускорения на ось вращения, определяем касательное ускорение точки; Рис. 4.2. 7) по найденным нормальному и касательному ускорениям находим полное ускорение точек по величине и направлению. Второй тип задач - задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела; требуется найти уравнение вращения, скорость и ускорение точки твердо10 тела: 1) интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию углового ускорения па ось вращения; находим проекцию угловой скорости; произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным данным; 2) интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию угловой скорости на ось нраще1шя, находим уравнение вращения твердого тела; произвольная постоянная интегрировагшя определяется по начальным данным; 3) пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем величину скорости и нормального ускорения точки; 4) определяем величину касательного ускорения точки, зная проекцию углового ускорения на ось вращения, и далее находим полное ускорение точки. Задача 4.1. Искусственный спутник Земли, запущенный в СССР 4 октября 1957 г., имел вначале период обращения 1 ч 36 мин. Определить его среднюю частоту обращения. Во сколько раз частота обращения спутника болыие величины угловой скорости Земли (при вращении ее вокруг собственной оси)? Решение. Период обращения спутника - это время, за которое он совершает один полный оборот по орбите. Это время равно 1 ч 36 мин, или 96 мин. Следовательно, радиус-вектор спутника делает п - обI мин. Выражаем величину этой частоты обращения в сск~У Величина угловой скорости Земли при вращении вокруг собственной оси соответствует 1 обороту за 24 часа, или я, = , об1яас = o6f.mH = j об;мин. Находим, далее, отношение величины частоты обращения сиу тика к угловой скорости Земли п, 96  Спутник сделает 15 оборотов за сутки, в течение которых Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Задача 4.2. Сохраняя условия предыдущей задачи, определить скорость и ускорение искусственного спутника, считая его орбиту круговой, высоту полета над поверхностью Земли h = 970 км. Радиус Земли R = 6370 км. Peujeiine. Величина скорости спутника определится по формуле v = (h-\-R) ш, где h-\-R - радиус описываемой спутником окружности. Итак, К задаче 4.2. = З^ + 6370) км/сек = 8 км/сек. Так как касательное ускорение спутника равно нулю ( ) = const), то величина ускорения гг) = от = (/г + R) = (970 6370) = 0,00874 км/сек' = = 8,74 м/секК Ускорение направлено к центру Земли. Задача 4.3. При пуске в ход трамвая вожатый выключает постепенно реостат, вследствие ч(;го угловое ускорение ротора мотора увеличивается пропорционально времени и его угловая скорость через в сек достигает величины Збк сек'. Найти число оборотов, которое совершил ротор за это время. Решение. Модуль углов(Зго ускорения е растет пропорционально времени. Следователыю, обозначая неизвестный коэ(()фициент пропорциональности буквой k, имеем: Умножая обе части равенства иа dt и интегрируя, находим проекцию угловой скорости ротора па ось вращения ), = А^ + С. (1) В начальный момент при г = 0 o) z=0, так как ротор был неподвижен. Подставляя эти значения в уравнение (1), находим, что С=0 и, следователыю, .= 4-. (2) С другой стороны, согласно условию при t = 6 сек угловая скорость достигла величины u)j = 36it сек'. Ис1юльзуя это, из уравнения (2) или Внося это значение в уравнение (2), получаем, что Учитывая, что m = -J и интегрируя, находим: Но при = 0 угол иоворога неподвижного ротора был равен нулю (о = 0). Следовательно, Cj=0 и окончательно Для определения числа оборотов ротора за 6 сек полагаем в (4) < = 6 сек. Угол поворота в радианах -3=727г; следовательно, ротор за 6 сек сделал: N\==- 36 оборотов. Задача 4.4. В условиях предыдущей задачи определить скорость и ускорение точки М обода ротора в момент времени /, = 3 сек. Диаметр ротора d = 20 см. Р е ш е н и е. Величину угловой скорости ротора в момент времени = 3 сек находим, пользуясь формулой (3) предыдущей задачи: = г.е- = т..У' = т. сек-К Далее, л:олуль скорости точки < )бода бу-деи =г.,; = >,--=9it. 10 = 90л: см/сек. Скорость точки обода направлена иериеи- К задаче 4.4. дикулярио к радиусу, в сторону вращения. Величина нормального ускорения точки обода в этот момент равна щ' = ш2-=8]г-10 = 810й- см/сек\  определяем коэффициент k: k -= 2т.. Проекция ускорения этой точки на касательную будет: и , = у = 2jt/ 1 = 20jt. 3 = 60;г см1секК Величина полного ускорения точки определяется формулой W = Vwl-\-w\ = 30it Vt- -f 4 cMjceK. Угол, составляемый полным ускорением точки с радиусом, находится из уравнения Эта задача может быть решена и другим способом. В предыдущей задаче было найдено уравнение вращения ротора (4) Пользуясь формулой (I*) обзора теории, составляем уравнение движения точки обода ротора в естественной форме: Находим, далее, проекцию скорости точки обода на касательную к траектории, вычисляя производную от а но времени 11. = 3= lO-f см/сек. Величина скорости в мо.мент времени = 3 сек будет: г1, = Кк-Э^ЭОт: см/сек. Определяем величину нормального ускорения в этот момент времени = р = W м/сек; Проекция ускорения иа касательную равна производной от по времени и' = v = 20iti. Следователыю, в момент времени ti = 3 сек W, = бОтс см/сек'. Величина полного ускорения определяется формулой от = У wn -\-W% = 30it /729:: -[- 4 см/секК Угол наклона полного ускорения к радиусу, соединяющему течку с осью вращения, находится из уравнения . да. 60л 2 п л,1)£- 8-=да:==№=27-л=00-б. 1 ... 24 25 26 27 28 29 30 ... 51 |
||||||||||||
 |
 |