|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Так как в момент времени ty точки встретились, то, следовательно, Sl + S2 = /2, (1) где h - наибольшая высота подъема первой точки, равная vll2g (смотри предыдущую задачу). Тогда, подставляя в (1) значаще всех величин, находим: Рассматривая это уравнение как неявную зависимость ,=/(1), находим производную от ti по 1 и приравниваем ее нулю; = .-t. (3) Но Vi/g рав1ю времени подъема второй точки на наиболыпую высоту (см. задачу 3.23). Следовательно, в момент встречи вторая точка будет находиться в наивысшем положении. Подставим найденное значение ty - 1 из (3) в уравнение (2). Тогда, после приведения подобных членов, находим: 2§- 2 2> откуда определяется время Далее, из уравнения (3) находим: г-;=-р^. (4) время движения первой точки от ее наивысшего положения до встречи со второй точкой. Тогда путь, пройденный первой точкой вниз за время ti, будет: - g Si - . Обозначим буквой т время, отсчитываемое от момента, когда первая точка находилась в наивысшем положении, до момента начала движения второй точки. Тогда пугь, пройденный второй точкой до встречи с первой, равен Чтобы найти искомое время Г, но истечении которого с момента бросания первой течки следует бросить вверх вторую точку, необходимо к X прибавить время t, в течение которого первая точка достигла наивысшего положегшя: Г=х + = -г>. + К^В^ о И.з формулы (4) следует, что т О при Zl > 2vl, : = 0 при vl = 2vi, т<0 при ii5<2iij. . Таким образом, при т^О бросание второй точки происходит после того, как первая точка достигла наивысшего положения; при :<0 бросание второй точки происходит до того, как первая точка оказалась в наивысшем положении; а при т = 0 бросание второй точки происходит в тот момент, когда первая течка находится в наивысшем положении. Задача 3.25. Линейка эллипсографа АВ = 1 скользит ко1щом А но оси абсцисс и концом В по оси ординат. Линейка приводится  К задаче 3.25. в движение кривошипом ОС = 0,5/, шарнирно прикрепленным в ее середине. Расстоягшя ЛЛ1 = а, ВМ = Ь известны. Угол 9 между осью абсцисс и кривошипом изменяется пропорционально времени 9 = 2 . Найти уравнения движе1тя точки М эллипсографа и уравнение се траектср1Ш. Определить также радиус кривизны траектории точки М, ее скорость, касательное, нормальнее и полное ускорения при произвольном положении механизма и, в частности, в моменты времени 1 = 0 и ti = T.l2k. Решение. Для составления ypaBneimtt движения точки М рассмотрим треугольник ОАС. Он равнобедренный: 00= ЛС= 0,5/, следователыю, /1 СОД = Z. 0Л0 = 9 = Тогда координаты точки М будут: х = ВМ cos с^ = Ь zo% и, (1) у = АМ sin 9 = а sin kt, (2) v = yv%-[-xy = kVb sin4tcosHt. (3) Направляюише косинусы вектора скорости будут: cos( , x) = -f = - COS(Cj-) = = - V sin kt + cos* kt В векторном виде скорость может быть представлена так: о = vj -f- Vyj= - bk sin kt i -(- ak cos ki J. Находим проекции ускорения на оси координат, вычисляя первые производные по времени от проекций скорости или вторые производные по времени от координат точки: Wj( = Vx - x = -bk cos kt, Wy = Vy - = ~ ak siri kt. (4) Величина ускорения определится по формуле W - Vw% + wy kVb cosAi + a sinAT. Направление ускорения может быть найдено путем сопоставления уравнений движения точки (1), (2) и формул, определяюнщх проекции ускорения на оси координат (4). Последние могут быть представлены в виде Wx=- kx, Wy - - ky; таким образом, w = wJ-\- Wyj= - к- (xi -f- yj) - - A v. или в векторном виде г = jci -\-yJ= b zoskt-i-\-a sin kt j, где и j-орты осей координат х, у. Этими равенствами определяются уравнения движения точки М. Для нахождения траектории точки представим уравнення движения в виде -;- = cos kt, = sin kt, b a возведем эти равенства в квадрат и сложим их: bзTai - Таким образом, траектория точки М - эллипс с полуосями Ь, а. Для определения скорости точки М вычисляем первые производные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на соответствующие оси координат: Vx = х= ~ bk sin kt, Vy-p = ak cos .kt. Величина скорости определяется формулой цвиженне точки [ГЛ. UI Следовательно, ускорение точки М направлено по радиусу-вектору, проведенному из Ж в О, и по величине прямо пропорционально расстоянию точки Ai от начала координат. Проекция ускорения на касательную определится как производная от проекции скорости на касательную по времени (и данном случае v = v) dv k? Ufi - sin kt COS kt ot Yb- sin kt + CDS kt Ho величина полного ускорения связана с касательным и нормальным ускорениями зависимостью = от? -(- w%. Теперь, после несложных преобразований, найдется величина нормального ускорения точки М: w = Yw - от? = .--f. -г.. (5) ]/a4-os2 W+Usin kt Зная модуль нормального ускорения точки (5) и ее скорость (3), находим радиус кривизны траектории; г) (а' cos kt -f b- sin° kt) w ab Пользуясь полученными формулами, определяющими основные кинематические величины ь любой момент времени, находим их значения:
Задача 3.26. Кривошип ОА = г вращается рав1ГОмерно вокруг точки О в плоскости чертежа: угол <f = kt. Шатун АВ шарнирно соединен с концом кривошипа в точке А и проходит через цилиндрический шарнир, который может поворачиваться вокруг неподвижного центра Л/. Длина АВ- 12г. Определить уравнения движения точки В, проекции ее скорости и ускорения на оси координат, Kacafe.ibnoe, нормальнее и полнее ускорения, а также радиус кривизны траектории при произвольном положении механизма. Определить координаты, скорость, ускорение точки В и радиус кривизны ее траектории при <р = 0 и <р = т. Решение. Треугольник OAN равнобедренный, так как ОА- ON=r. Следовательно, ОАМ= L ONA = = 90° - f/2. Тогда координаты точки В раш1ы х = г cos lit-\-1 s.\n, (1) y = r sin kt - I cos Y  Выражения (1) и (2) являются уравне-1Н1ЯМИ движения точки В. Они получены проектированием ломаной линии ОАВ со- К задаче 3.26. ответственно на сси абсцисс и ординат. Проекции скорости на неподвижные декартовг,! оси координат находятся как производные от координат по времени: = X- - rk sin kt-\-lY cos у, k kt v = p = rk COS kt -y-l sin . Величина скорости определится по формуле v = Vv%vl=k\/ sin ! Проекцию ускорения на касательную найдем как производную от проекции скорости на касательную по времени {v = v): Если касательное ускорение и проекция скорости на касательную г\ одного знака, то точка В движется ускоренно. Если же W- и d противоположных знаков, то точка В движется замедленно. Проекции ускорения точки нанеподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени от npceKutfft скорости на соответствующие оси или вторым производным по времещ! от соответствующих координат точки: Wx = x == - rk cos kt ~ 1- s\n (3) Wy =yz=:~ rk Sin kt -f- / J cos ~. Пользуясь уравнениями (3) и (4), определяем величину полно1о ускорения точки R: =Vw% =/ -I- - f Sin 1. ускорений точки, вычисляем Зная величсщы полного и касательного модуль нормального уск011ения по фор|1уле Г 16 r-i cos- - sin \ 4 S j С другой стороны, величина нормальнок-о ускорения равна п = --. Отсюда можно определить радиус кривизны, так 1сак скорость точки и нормальное ускорение лзвестиы: \r.\-r- - Arl sin) у 64г' -;-\6гЧ- + - 96г'/ siny - 12 г/ sin *у + 36г=/ sin Перейдем к вычислению координат точки В, ее скорости и ускорения при угле ср = 0. Из уравнений движения (1) и (2) находим 1соординаты точки В при рассматриваемом положении механизма: При этом модуль скорое i и точки а касательное ускорение точки будет равно Радиус кривизны траектории при f = 0 будет: (Arl±nJ Ро - 8г + Соответственно при угле tpi = эти величины равны = - г + /, 3 , = О, И' = о, и'1 - = А' (2г-0 Задача 3-27. Точка Ж, движущаяся с постоянной по величине скоростью V, описывает цепную линию, уравнение которой имеет вид Определить проекции скорости и ускорения, а также пол1гсе ускорение точки как функции ее координат. Определить радиус кривизны ценной линии. Примечание. Использовать выражемия 1иперболических функций через иоказательвыс: sh2 = y (е^-О. ch2 = 4( + ), X\\z = sh 2 ch2  Решение. Рассматривая х и у, входя- к задаче 3.27. щие в уравнение ценной линии, как функции времени и дифференцируя ураьнение цешюй линии по времени, имеем: dy d I , л'\ y = dl = dt\) = .vsh-. Величина нормального ускорения Величина полного ускорения выразится так: 1 j- sir - ch --- а а Извлекая из обеих частей равенства (о) квадратный корень, легко находим, что = f. . (6) Это. равенство определяет проекцию скорости на ось абсцисс как функцию координат точки. Чтобы определить проекцию скорости на ось у, подставим найденное значение (6) в уравнение (2). Тогда или, внося в это равенство значение у из (1), находим: P = vth. (8) Для вычисления проекции ускорения на ось абсцисс продифференцируем но времени соот1юшение (6), помпя, что г/= const, Для определения проекции ускорения на ось ординат вычислим, пользуясь (8), вторую производную от ординаты iro времени: Р=---. (10) ch- - а Учитывая (6), находим: а Для нахождения величит.! ускорения точки воспользуемся формулой wxT. (12) Далее, так как cy.M.va квадратов проекций скорости равна квадрату скорости точки, то fv - x\ (3) Возводя уравиепие (2) в квадрат и подставляя вместо левой части ее зпачепие (3), находим: v-x = r-sh~ (4) или подставляя в которую (9) и (11), имеем, после несложных преобразований: Используя вновь равенство (1) и извлекая из (13) квадратный корень, находим величину ускорения точки v-a w== - 3 (14) Так как точка по условию движется с постоянной скоростью, то ее полное ускорение будет одновреме1Н10 являться и ее нормальным ускорением: /1г:\ = Wn = j- (15) Сопоставляя равенства (14) и (15), определяем радиус кривизны цепной линии .У (16) Задачу моисно решить непосредственным дифференцированием уравнения цепной линии, не переходя к !инерболическим функциям. Однако такой путь решения является более длинным. Задача 3.28. Точка Q движется но параболе у' = 2рх так, что нолоисение ее проекции на ось ординат дается формулой y = ct.  К задаче 3.28. Определить скорость и ускорение точки Q, а также радиус кривизны параболы. Решение. Координаты х, у движущейся точки Q, входящие в уравнение параболы, являются функциями времени. Вычисляя 9 М. и. Бать и др., т. I = Уг<1-\-ь1 = сУ-У1. (2) Проекции ускорения на оси координат находим по формулам; с Wx = Vx= - p - - = const. Таким образом, модуль полного ускорения точки равен W = \Wx\ = j. Обозначая угол между касательной к параболе и осью jc буквой <р, находим величину нормального ускорения точки Q Wn = w\ cos (90° - ср) I = от 1 sin cf . С другой сторош.!. Wn w\ sin I I sin tf ! или, учитывая (2), получаем; p £±. (3) I sin -.f I Восстанавливая в точке В, находящейся на расстоянии 0В=р/2 от гсчки О, перненликуляр к оси абсцисс (директрису параболы). производную по времени от обеих частей уравнения параболы, имеем: 2ур = 2рх, или yvy = pvx. (1) С другой стороны, дифференцируя по времени y=:ct, находим: Тогда из (1) имеем: и, следовательно, скорость точки определится соотношением vvJ--Vyji-cJ. Величина скорости равна 1 ... 22 23 24 25 26 27 28 ... 51 |
 |
 |