|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы фического решения уравнегнш (6). Для этого при извест1н.1Х числен-ггых значениях коэффициеггтов к, g, Vf я. следует построить функцию о COS а kg \ Vo COS а / откладывая по оси абсцисс значения х, а по оси ординат соответствующие им значения f{x). Пересечение этой кривой с осью абсцисс и дает второй корень уравнения (6) - дальность гюлета fio горизонтали. 2°. Переход от уравнений движения в декартовых координатах к естественному ypasFieFinra движе11ия. Если уравнения движeFIия точки дaFIы в декартовых коорди11атах x=f,(t), y==Mt), z=M) (1*) и требуется найти уравнение движeFFия в ecтecтвeFИFoй форме, то необходимо сначала определить TpaeFTopHio точки, а затем Flaйти закон движения этой точки по траектории. Нахождение уравнений траектории точки производится путем исключения времени из уравне1шй движelFия (1*). Для нахождения закона движения a=f{t) необходимо воспользоваться известным выражением для дифференциала ду1и ± d=ds=V{dxf + {dyf -М^г7 = 17, (0-Ь/.>)+/з'(0 dt. (2*) Интегрируя, находим: о = ± 5 >7i (О-\Г^ (О +/з' (О dt -Ь С. (3*) Произвольная постоянная интегрирования С находится из начальных условий: так, например, если отсчет пути начинается от начального положения точки, то при = 0 а = 0. Подставив эти нaчaлыlF.le условия в уравнение (3*), определяем С. Задача 3.8. Точка совершает плоское движение согласно урав-нeFШям: х = а cos kt, (1) j; = (l-cosO. (2) Определить уравнение траектории точки и закон ее движeFFl;я, отсчитывая расстояние от FFaчaльнoгo положения. Решение. Для получения уравнения траектории точки находим из уравнения (1) cos = (3) и подставляем (3) в уравнение (2): Таким образом, траекторией точки является отрезок прямой линии, определяемой уравнением (4) и дополнительным условием л:а, вытекающим из (1).  К задаче 3.8. Для нахождения saKOFia движения точки но траектории имеем: dx =: - ak sin kt dt, Тогда dy = k sin kt. dt. do=Y(dxf + {dyf = ]/fl/fe + J sin kt.dt. Интегрируя это уравнение, получаем: о = - j/a/fe -I-1 . cos Д; + С. Так как координата а отсчитывается, по условию задачи, от начального положения точки, то при t = 0 а-О. Подставляя эти значения в (5), имеем: 0=-/aV + f;i + C, Внося найдегпюе значение произвольной постоянной С в уравнение (5), находим закон движения точки по траектории a = i-]/aV + g(l - cos kt). Это - уравнение гармонического колебательного движения точки. Точка О, около которой совершаются колебания {центр колебаний), находится на расстоя1Ши от начального положения. .-Амплитуда колеба(шй равна В момент времени t~Q точка находится в крайнем положении Л. В момент BpeMeim t = T.I2k, когда cos kt - Q, точка находится в центре колебаний, в О. В моменг времени f = и/А, когда cos - 1, точка находится во втором крайнем положении, в точке В. Графически движение точки представлено на рисунке. На рис. а построена траектория ЛОВ. На рис. б представлена зависимость <s от времени. Задача 3.9. Точка М движется согласно уравнениям: х = асоъМ, (1) y = as\nkt, (2) z = bt, (3) где а, k, b - постоянные. Определить уравнения траектории точки и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. Решение. Для определения уравнений траектории точки находим из уравнения (3) время и вносим это значение в (1) и (2). Тогда X = а cos у Z, = 1- К задаче 3.9. Это - уравнение винтовой линии. Из уравнений (1), (2) видно, что проекция точки на плоскость ху описывает окружность за время 2-tzlk. За это время проекция точки на ось z переместится на величину h = -j-b, называемую шагом винтовой линии. Винтовая линия навивается на поверхность цилиндра радиуса а.  232 ДБИЖЕИИЕ точки гл. m Для нахождения закона дниження точки по траектории находим: dx==~ ak sin kt-dt, dy =- ak cos kt dt, dz == bdt. Тогда дифференциал дуги будет: rfa = V{dxf-\dyf-\-{dzf = Vak ~ hi dt. Интегрируя это равспстьо, нчесм: o = l/F+/-f С. (4) Для определения произвольной постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями. При = 0 о = 0, так как отсчет дуги начинается одновреме1П1о с отсчетом времени. Подставляя эти начальные условия в уравнение (4), находим: О = О -f С. Таким образом, закон движе1Н1я точки по винтовой линии запишется в виде если отсчитывать положительные значения дуги против часовой стрелки. Движение начинается из точки = а, у,) = 0. 0 = 0 и происходит по винтовой линии против часовой стрелки. Для приобретения навыков в решении задач на составление и исследование уравнений движения и определения траекторий точки рекомендуется решить следующие задачи из Сборника задач по теоретической механике И, В. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 311, 312, 314, 315, 317, 318, 320, 321. § 2. Скорость и ускорение точки Скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора г, определяющего ее положение в пространстве. Скорость точки характеризует изменение ее положения во времени = = M + V + *> (*) где i, J, k - орты осей .v, у, z. Проекции скорости на оси неподвижных декартовых координат равны dx . dy , dz . Модуль скорости дается формулой -vYJvy-\vl. (3*) Направление скорости определяется направляющими косинусами: со5(гГх)=~, cos(vTy) = --, cos(vrz) = . (4*) Скорость направлена по касательной к траектории. Ускорение точки есть производная от скорости по времени или вторая производная от радиуса-вектора г по времени. Ускорение точки является мерой, характеризующей быстроту изменения скорости: w = =.=wJWyJwA (5*) Проекции ускорения на неподвижные декартовы оси координат равны Wx = Vx = - Wy = Vy=y, W = Vi = Z. (6*) Модуль ускорения вычисляется по формуле = 1/©) -- Wy -\-wl. (7 *) Направление ускорения определяется направляющими косинусами: С05(Щ , Х)=-, COS (w, у) = , cosiw, 2)=--. (8*) Если уравнение движения задано в естественной форме, то скорость точки равна V = ;x=v,-r, (9*) где т - орт касательной, направленный в сторону увеличения а; v - проекция скорости на касательную, равная V=:p,=i. (10*) Если то точка движется в сторону увеличивающихся значе- ний а. Если v<0, то точка движется в противоположную сторону, в направлении уменьшающихся значений а. Ускорение в этом случае определяется через проекции на естественные оси координат. Естественными осями координат, или натуральным триэдром траектории, называется ортогональная (прямоугольная) система координат, состоящая из осей: а) касательной, направленной в сторону возрастания дуговой координаты, б) главной нормали, направленной в сторону всгиутости траектории, и в) бинормали, направлегнюй так, чтобы три оси составляли правую систему координат (рис. 3.5). Плоскость, в которой расположены касательная и главная нормаль, называется соприкасающейся, или плоскостью кривизны в данной точке кривой. Плоскость, в которой лежат главная нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью. Нормальная плоскость перпендикулярна к соприкасающейся плоскости. Плоскость, перпендикулярная к главной нормали, называется спрямляющей плоскостью. Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. При переходе от одной точки траектории к другой естественные оси, оставаясь между собой ортогональными, непрерывно поворачиваются, сопровождая движущуюся точку. Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и определяется как векторная сумма касательного п нормального ускорений точки:  г = щ -- Wn- (11*) Проекция ускорения на касательную дается формулой Рис. 3.5. (12*) Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно обращается в нуль в те моменты времени, когда скоро'сть достигает экстремальных значений. Величина нормального ускорения определяется формулой (13*) где р - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории, так как в обоих случаях радиус кривизны обращается в бесконечность. Кроме того, нормальное ускорение обращается в нуль в точках, где = 0. Модуль ускорения вычисляется при помощи формулы (14*) Направление ускорения определяется направляющими косинусами: cos (оГт) , cos (аГи) = (15-0 Важными частными случаями движения являются равномерное и равнопеременное движения. При равномерном движении величина скорости постоянна. Уравнение равномерного движения c = Oo + V.t, (16*) где о - дуговая координата точки, отсчитываемая от начала координат, а ао - значение дуговой координаты при i = 0. При равнопеременном движении касательное ускорение точки постоянно по величине. Уравнение равнопеременного движения будет: a = c,-\-v,t + . (17*) Зависимость скорости от времени в равнопеременном движении определяется уравнением v==VowJ. (18*) Если wO, то движение, определяемое уравнениями (17*) и (18*), является равноускоренным, если же w.<0, то это движение равно-замедленное (при 1), 0). Вообше при ускоренном движении касательное ускорение совпадает по знаку с прсекцией скорости иа касательную. При замедленном движении касательное ускорение и проекция скорости на касательную имеют противоположные знаки. Зависимость между скоростью и пройденным путем при равнопеременном движении определяется формулой Галилея x = iS -f- 2 ,(сз -о„). Часто в задачах требуется найти радиус кривизны траектории. Радиус кривизны траектории может быть определен из фор.мулы (13*) Если уравнения движения заданы в декартовых координатах, то при помощи формул (3*) и (7*) следует найти величину скорости и ускорения точки, затем найти значение касательного ускорения по формуле (12*). Тогда из соотношения (14*) определяются нормальное ycKopeime и, далее, при помощи (19*) радиус кривизны траектории. При движении точки по плоской кривой радиус кривизны траектории и нормальное ускорение точки могут быть определены другим способом, нашедшим в последнее время ширсксе применение в инженерной практике. Обозначим угол, составленный касательной к траектории (или, что то же, скоростью) с некоторым неизменным направлением, буквой ([) (рис. 3.0). Тогда радиус кривизны равен  где (J; = - - =-j-~ и, следователыю, величина нормального ускорения равна j = у = ф|- (21*) В этом параграфе ренгаются задачи на определение скорости, ускорения точки, нахождение радиуса кривизны траектории по известным уравнениям движения точки. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения сводится к дифференцированию уравнений движения и может быть всегда выполнено как при аналитическом, так и при графическом задании движения точки. Одновременно могут быть получены другие да1П1ые, характеризующие движение точки: ее положение в любой момент времени, наибольшее и наименьшее значения скорости и ускорения и т. д. При решении задач на определение скоростей и ускорений полезно придержи-паться следующего порядка: 1) выбрать систему координат; р^ gg 2) составить уравнения движения точки в избранной системе координат; 3) по уравнениям движения точки определить проекции скорости на оси координат и скорость по величине и направлению; 4) зная проекции скорости, определить проекции ускорения на оси координат и ускорение по величине и направлению. Если траектория точки задана по условню задачи, то целесообразно применить естественную форму уравнений движения и искать ycKopeime точки через проекции на оси натурального триэдра. В этом параграфе решаются также задачи на определение уравнений движения точки и ее траектории, еслп известно ее ускорение. При решении задач на определение уравнений движения точки и ее траектории рекомендуется такая последовательность действий: 1) выбрать систему координат; 2) составить проекции ускорения на эти осн; 3) проинтегрировать полученные зависимости и найти проекции скорости; 4) в найденных выражениях определить произвольные постоянные интегрирования, пользуясь известными значениями проекций скорости в некоторый момент времени; 5) проинтегрировать полученные зависимости для проекций скорости и получить уравнения движения точки; 6) определить произиольиые постояги1ые иптегриропания, пользуясь значениями координат точки и некоторый момент нрсмсни; 7) исключив из уравнений движения время, получить уравнение траектории в координатной форме. Задача ЗЛО. Первый искусственный спутник, запуитениый 4 октября 1957 г. в СССР, имел скорость v, равную 8 км/сек, и период обращения Т, равный 1 ч 36 мпн, или 5760 сек. Определить высоту полета спутника над поверхностью Земли, полагая его орбиту круговой, а движения равномерным. Радиус Земли принять равным / = 6370 км. Решение. Обозначим буквой г радиус орбиты спутника, проведенный из центра Земли, буквой А - искомую высоту спугпика над поверхностью Земли. Путь S, проходимый спутником за один период обращения, равен произведеиию времени 7 , затраченного па один оборот, на скорость движения спутника V. С другой стороны, этот же путь равен длине окружности радиуса г. Таким образом, г = = 7340 км.  К злламе 3.10. К задачам 3.11, 3.12. Далее находим искомую высоту полета: /г = г -/?= 7340 -6370 = 970 км. Задача 3.11. Две точки движутся равномерно одна за другой по одной прямой линии со скоростями ф, и Ф , причем расстояние между их начальными положениями было равно ffo- Обе точки начали о у, ь, о, двигаться одновременно. * а„ ° * ~ Определить время Т, по истечении которого одна точка догонит другую. Решение. Пусть прямая Os есть траектория движения. Тогда уравнение движения первой точки, вышедшей из О, будет: 01 = -llyt. Уравнение движения второй точки, вышедшей из 0\, будет: 0,2 = V4 -- Оо. ибо отсчет координаты следует по-прежнему вести от начальной точки О. Столкновение произойдет в момент времени 7 , когда юрвой точки останется не- Уравненне дпижег.ия второй точки из.менится, так как время движения второй точки равно {t - t), и, следовательно, Приравнивая пути, пройденные обеими точками, находим время, прои1едн1ее от начала движ(;ния первой точки до столкновения: viT.= Vi{T ~т)-{-са, у °о - fat Vi-V Задача 3.13. Судно для достройки на плаву спускается на воду но смазанным полозьям с постоя1ШЫм ускорением. Первый метр пути судно прошло за 1 сек. Сколько времени потребовалось для спуска судна, если длина полозьев 400 м? Решение. Уравнение движения судна по полозьям s= 2-. где 5 - пройденный путь, а - ускорение, t-время. Применим эту формулу к перво.му участку пути, когда судно прошло 1 и/ за 1 сек Si = -j- здесь Si=l м, а = 1 сек. Аналогично для остального пути по полозьям где i.j = 400 м, i.j -искомое время. ffl = ff. или у °0 Задача 3.12. Решить предыдущую задачу при условии, что вторая точка начинает движение через г^ромежуток времени z после начала движения первой точки. Peuienne. Уравнение движения изменным: Ci = Vit. 1 ... 20 21 22 23 24 25 26 ... 51 |
 |
 |