|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Формулы перехода от цилиндрических координат к прямоугольным декартовым координатам: jc = р cos ф, у = р sin (), г = Z. Полярные, сферические, цилиндрические системы координат в отличие от декартовых называются криволинейными координатными Системами. Уравнения движения точки могут быть представлены графиками. Если по оси абсцисс откладывать независимую переменную t (время), а по оси ординат - координату движущейся точки, то на графике получим кривую зависимости координаты от времени, т. е. уравнение движения. Такие графики должны быть построены для каждой из трех координат, определяющих движение точки в пространстве. Графики движения могут быть построены и при задании закона движения в виде (3*), (4*) или другим способом. Уравнения движения точки могут быть заданы таблицей, в которой каждому дискретному значению времени соответствуют определенные значения координат. Решение задач на определение закона движения и уравнения траектории производится в такой последовательности: 1) выбирается система неподвижных координат - прямоугольная, полярная или какая-либо иная; начало координат и та или иная система выбираются, исходя из условий задачи, так, чтобы дальнейшее решение было возможно более простым; 2) на основании условий задачи для избранной системы координат составляются уравнения движения точки, т. е. находится зависимость координат точки от времени; 3) имея уравнения движения точки, можно определить ее положение в любой момент времени, установить направление ее движения, найти траекторию и ответить на различные вопросы, касающиеся движения точки. Задача 3.1. Точка М совершает плоское движение согласно уравнениям x = Q + it, (I) y = At. (2) Определить траекторию точки М. Решение. Уравнение траектории в координатной форме находим, исключив из обоих уравнений движения время. Из второго уравнения имеем t=y/4. Подставляя это значение в первое уравнение движения, получаем уравнение траектории х = 6~\-0,75у. Это - уравнение прямой линии. Для построения этой прямой замечаем, что при у = 0 х = 6 и при х = 0 у= -8.  к задаче ЗЛ. На чертеже находим точку А (6,0) и точку В (О, - 8), через которые и проходит указанная прямая. Однако отнюдь пе вся эта бесконечная прямая будет являться траекторией точки М. Определим по-лэжение точки УИ в начальный момент времени = 0. Подставляя эю значение времени в уравнения движения (1) и (2), находим начальное положение точки: Хо = 6, 3/0 = 0. Следовательно, точка М начинает движение из точки А. Из уравнений движения следует, что с увеличением времени координаты точки М будут расти, оставаясь положительными. Так, при t= \ координаты точки М. будут: х = 9, у = 4. Находим эту точку на траектории и обозначаем ее буквой С. Таким образом, траекторией точки УИ будет полупрямая ACD. Другая половина прямой АВ не будет являться траекторией точки М. При прямолинейном движении точки уравнения движения упрощаются, если совместить ось координат с траекторией. Найдем уравнения движения точки УИ, если начало координат выбрать в точке А, начальном положении движущейся точки Ai, и ось х, направить по полупрямой ACD, а ось у^ перпендикулярно к ней. Тогда из треугольника АСЕ, пользуясь уравнениями движения (1), (2), находим: X? = (X - 6) Jy = 9t-}-l 6t = 2ot\ а следовательно, Xi = ±5. (3) Так как точка УИ движется в положительном направлении оси Xj, то знак минус в (3) следует отбросить. Таким образом, уравнения движения точки М в новой системе координат будут: Xi = 5t, Для прямолинейного движения точки мы, но существу, получили одно уравнение движения.  К задачам 3.2, 3.3. tg kti = 1. Задача 3.2. Кривошип ON длиной а вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через точку О. Угол 9 между неподвижной осью Ох и кривошипом изменяется пропорционально времени: <f = kt. Составить уравнения движения точки N в декартовой системе координат. Найти уравнение ее траектории. Определить время одного полного оборота точки N и момент времени, когда обе координаты точки равны между собой. Решение. Для составления уравнений движения точки N надо выразить ее координаты как функции времени. Из рисунка находим координаты X, у точки N: Х= ON CQS ср, у = ON sin ср, или x = acoskt, (1) >/ = а sin kt. (2) Это и будут искомые уравнения движения точки N. Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время. Для этого возведем каждое уравнение движения в квадрат: x = acoskt, (3) yasin4t, (4) и сложим уравнения (3) и (4): х^-\-у^ = а^ Это уравнение траектории точки N определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. Определим время одного полного оборота точки N. Это время Т, в течение которого угол 9 изменится на 2ic радиан: <f = kT=2r., Найдем начальное положение движущейся точки. Для этого надо в уравнения движения (1) и (2) подставить значение = 0. Тогда = а, уо = 0. Определим момент времени, когда обе координаты точки N равны между собой: X =у = а cos kty - а sin kty, Это равенство возможно при ktt=i:n-yl, (5) где я = 0, 1, 2, 3,... Из (5) определяются моменты времени, когда координаты точки равны между собой * = k Гk Задача 3.3. Положив в предыдущей задаче угол ср равным kt-{-. где Аир - постоянные величины, определить движение точки М> являющейся проекцией точки N на ось Ох. Решение. Точка М движется прямолинейно по оси Ох, следовательно, ее движение определяется одним уравнением х=: ON cos ср = а cos (kt -\- Р). Это есть уравнение прямолинейного гармонического колебательного движения. Из него следует, что наибольшее отклонение точки М от центра колебаний О определяется координатами х, = -- а, Xi = - а. Величина а называется амплитудой колебания, kt-\- называется фазой колебания, а р - начальной фазой колебания. Определим период колебаний - промежуток времени, в течение которого точка совершает одно полное колебание, т. е. возвращается в исходное положение с той же по величине и направлению скоростью. Обозначая период буквой Т, находим его величину из условия того, что приращение фазы колебаний за это время равно 2п; Задача 3.4. Точка движется согласно уравнениям: j;.- = a cos (* -е), (1) yz=bcoskL (2) Определить уравнение траектории точки. Как меняется траектория точки при увеличении разности фаз s от О до 2ic? Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо из уравнений движения исключить время. Для этого преобразуем первое уравнение движения: л; = а Cos (kt - &) = a[cos kt cos s-j- sin kt sin sJ. (3) Решая уравнения (2) и (3) относительно cos kt и sin kt, находим: cos kt=i-b sin kt = X V ---cose. a b sin £ Возведем эти равенства в квадрат и сложим их: или окончательно: - - = cos £ sm Е - 2- cos s = sin е. a о Уравнение (4) при произвольном значении s есть уравнение эллипса. Из этого уравнения видно, что наибольшие и наименьшие значения  К задаче 3.4. переменных соответственно будут ± а для х п ±Ь для у. Таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольник со сторонами 1а и 2Ь. Будем теперь менять значетшя s от О до 2ir. При е = 0 уравнение (4) принимает следующий вид: = 0. \а b Следовательно, когда фазы обеих составляющих взаимно перпендикулярных колебаний одинаковы, эллипс вырождается в две совпадающие прямые линии, являющиеся диагональю прямоугольника (рис. а). При увеличении s от О до тг/2 эллипс, одна из осей которого совпадает по направлению с диагональю прямоугольника, постепенно расширяется (рис. б). При е = п/2 уравнение (4) примет вид (рис. в) т. е. уравие11ие эллипса принимает каноническую форму. При дальнейшем увеличении s эллипс сгюва сужается (рис. г) до тех пор, пока при s = ir не выродится в другую диагональ прямоугольника (рис. д). При это.м уравнение (4) принимает вид (-4---[а^ b = 0. Далее, с увеличением s от 7 до 2т: процесс повторяется, являясь зер-каль11ым отображением первой половины процесса (рис. е, ж, з). Если, как в разобранном примере, частоты обоих взаимно перпендикулярных колебаний равны, то разность фаз е остается постоянной и эллиптическая траектория точки неизменна. Если же, как это бывает в большинстве технических приложений, между частотами обоих колебаний существует малая разница, то траектория колеблющейся точки может быть представлена с достаточной точностью одним эллипсом лишь для нескольких периодов. Затем этот эллипс меняется в соответствии с изменением величины е со временем, проходя разобранные выше стадии. Задача 3.5. Точка М, брошегшая под углом а к горизонту, если пренебречь сопротивлением воздуха, движется согласно уравнениям: л: = г>о cos а , (1) y = VoSina..t~-. (2) В этих уравнегшях Wq. 8-постоянные величи11ы. Определить уравнение траектории точки, наибольшую высоту h ее подъема над уровнем начального положения, расстояние s по горизонтали, при котором точка достигнет наивысшего положения, а также дальгюсть полета точки по горизонтали. Решение. Для определения уравнения траектории точки в явной форме надо исключить из уравнений движения время. Получив из первого уравнения  К задаче 3.5. и подставив зто выражение в уравнение (2), найдем искомое уравнение траекюрии y = tga-x - Из аналитической геометрии известно, что это есть уравнение пара-болы с осью симметрии, параллельной оси у. Действительно, каждому значению у соответствуют два значения х. Эта парабола проходит через начало коорди11ат, так как значения коордиггат х = 0, у = 0 удовлетворяют ее уравнению. Чтобы определить наибольшую высоту подъема точки h, надо найти по правилам дифференциального исчисления экстремальные зна-нент у. Для этого вычислим нроизвод11ую от у по координате х и приравггяем ее нулю; так как а 0, то можно ограгш- читься приравниванием к нулю производной y = -=VoS\na. - gti = 0. (5) Следователыго, у достигает экстремального значения при (6) Подставляя это значение времени в уравне1ше (2), находим наибольшую высоту подъема , г;, siri а gVriSini 1 vlsinx П-Ута^- - у- . Это экстремальгюе значение у будет, действительно, максимумом, а не минимумом, так как вторая производная от у при t - t отрицательна: Для определе11ия абсциссы s, при которой точка достигает наивысшего положеггия, надо значегше времени, соответствующее этому моменту (6), подставить в уравггение (1): л sin а vi sin 2а Дальность полета по горизонтали / определится из уравнения траектории (4), если положить в нем у = 0: g°-- -2Xs-a Отсгода находятся два значения х: х„ = 0, х, = 1=. Первое значение соответствует начальному моменту (моменту вылета точки), второе 311ачепие определяет дальность по горизонтали. Сопоставляя значегшя Ins, заключаем, что l=2s, т. е. наивысшего положения точка достигает на половине горизонтальной дальности. 8 М. и Бать и др., т. I Заметим, что искомые величины дальности и высоты полета моя-ио было найти и не прибегая к дифференцированию. Достаточно было учесть, что траекторией служит парабола, ось которой параллель11а оси ортчгт, причем парабола проходит через начало координат. Действительно, положив в уравнении (4) у равным )1улю, находим два значения х, из которых первое равно нулю, а второе определяет дальность полета по горизонтали. Внеся в уравнение (4) Вместо х величину, равную половине дальности полета, находим максималь11ую высоту под1>ема h. Задача 3.6. Снаряд, вылетающий из ствола орудия, стоящего у подножья возвышенности, ногерхгюсть которой накло)1ена иод 1юсто- янным углом р к горизонту, движется согласно уравнениям (согфотивлеиием воздз'ха /ipe-небрегаем):  X = 1 о cos а t, y = v,s\na..t--, (2) где а - угол между горизон-К задаче 3.6. том и направлением вылета снаряда. Определить, под каким углом а следует выстрелить, чтобы получить наибольшую дальность полета вдоль линии OA. Решение. Исключив время t из уравнений (1) и (2), находим ургвнение траектории в явной форме: y = tga.x- Уравнение прямой OA, являющейся проекцией поверхности возвышенности Fia вертикальную плоскость ху, будет: y = xtg. (4) С.нарял упадет на землю в точке А, при этом ординаты, определяемые уравнениями (3) и (4), станут равными, следовательно. 2vf, cos-а' x = (tga-tgp)cos4 = (sin 2а-2 cosa. tg Для определения наибольшей дальности в зависимсстн от угла вылета а вычисляем производную от х по а и приравниваем ее нулю: = (2 cos 2а 4- 2 sin 2а. tg ) = О, 3. = ,-(.oSina + l)(l-.-0-{-. (2) П этих уравнениях v, а, А, g-постоянные положительные величи1гы. Определить уравнение траектории точки, наибольшую высоту h над уровнем начального положения, а также абсциссу, при которой точка достигнет наивысшего положения. Решение. Для определения уравнения траектории точки в явной форме 11адо исключить из уравнений движения время. Из (1) находим: (1 = -- X (3) г/о cos а И, далее, после 11есложных преобразований t=-UJ\--(4) feg- \ о COS а ; > Подставляя (3) и (4) в уравггение (2), [голучаем уравгшние траектории точки в явной форме /гоо cos а kg \ о COS а Для определе!шя наибольшей высоты h \\ъ]у уровнем начальгюго положе11ия надо гшйти максимум величины у, рассматриваемой как функция координаты х. Для этого, по правилам дифференциального исчисления, необходимо вычислить первую производную от у по коор- т, dy dy dt dx , п динате х и приравнять ее нулю. 1ак как ~J=~ dt можно ограничиться приравниванием нулю производной от координаты у по времени. Найденное из этого уравнения зггачение незави-ст.мой переменной - времени ty подставляется в уравнение (2), и тем ctg2a= -tgp, или 2а---1-3 Таким образом, наибольшая дальность будет при угле броса1Н1я, равном половигге угла между вертикалью (отрицательной осью у) и откосом ОА. Задача 3.7. Точка, брошенная наклог1г(о к горизонту, движется в воздухе, сопротивление которого пропорционально скорости, согласно уравнениям: Тогда /гО(, sin а -- 1 или 1 = 1 In {kv sin а-- 1). Подставляя эти значения в уравнение (2), после несложных преобразований находим экстремальное значение , г/л sin а 1 , I 14 >тлх = /г=---ln(Ai oSina-f 1). Для того чтобы убедиться в том, что найденное значение, действительно, является максимальным, вычисляем вторую производную oi у по времени =~kg[v sina-f у' Вторая производная отрицательна, так как k, g, - положительные числа, а угол а лежит в первой четверти. Определим, далее, абсциссу, при которой точка достигнет наивысшего положения. Для этого достаточно в уравнение (I) подставить значение времени ti, соответствующее наивысшему положению точки. Тогда имеем: г/о cos а J I \ vl sin 2g kg \ ~ Ъо sin a + 1 J ~ 2g- (too sin a + I) Пользуясь уравнением траектории точки (5), можно получить равенство, определяющее горизонтальную дальность полета. Если положить в уравнении (5) координату j = О, то одно из значений х, удовлетворяющее трансцендентному уравнению tooSin.+ l Llln(l--(6) г/о COS а kg \ г/о cos а у будет лг, = 0; это значение соответствует вылету течки из начала координат в начальный моменг времени. Второе значение х^, являющееся корнем уравнения (6), определяет горизонтальную дальность полета. Это значение может быть, в частности, получию путем гра- самым находится максимальное или минимальное значение у. Если вторая производная от у по времени в этот момент отрицательна, то найденное экстремальное значение у является максимумом, в противоположном случае - минимумом. Вычисляем, пользуясь уразнением (2), производную от у по времени и приравниваем ее пулю: j)=(z oSina -1 = 0. 1 ... 19 20 21 22 23 24 25 ... 51 |
 |
 |