|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы £2. t, = t, /?;L ,yf = 20 сек. Задача 3.14. Подводная лодка, не имевшая хода, погружается на глубину согласно уравнению где р, k, S, т - постоянные коэффициенты, s - плошадь горизонтальной проекции лодки. Ось х направлена по вертикали вниз. 0[феделпть скорость лодки, а также начальное и предельное значения скорости при неограниченном возрастании времени. Решение. Для определения модуля скорости вычисляем производную от X по времени: dx dt ks , Начальное значение модуля скорости находим, подставляя в урав-не1ше (1) значение = 0. Тогда 1)0 = 0. Предельное значение модуля скорости лодки при неограниченном возрастании времени будет: z)oo=limi-= v. /-.со Задача 3.15. Корабль движется согласно уравнению о.оъы = (l272,7 in 1-+ 50t Определить величину начальной скорости судна. Решение. Для определения модуля скорости вычисляем абсолютное значение производной дуговой координаты по времени: = 1272,7 1 -Нбе' -f-бй 0.05S/ eu.f>bt 50. (2) Модуль начальной скорости судна определится из (2) при нодсГанс вке t - Q, откуда Dq = 1 и м/сек. Для определения составим отношение еА Л sin kt где m - постоянная величина. Определить величину скорости точки, ее начальное значение, а также наибольшее и наименьшее значения скорости. Решение. Для нахождения модуля скорости вычисляем производную от X по времени = -(l-cos ). (1) ах Ш Подставляя в уравнение (1) начальное значение времени = 0, получим, что г. = 0. Для определения экстремальных значений модуля скорости находим первую производную от величины скорости по времегш и, приравнивая ее значение н^лю, определяем моменты времени, когда скорость достигает наибольших и наименьших значений: dv еА . -гг = - 8Ш kt, = Q. dt т Следовательно, kti = 0, г., 25г, Зя, 4ir, откуда , Tin 1 -у, где и = 0, 1, 2, 3, ... Подставляя найденное значение ty в уравнение (1), находим: при п = 0 t)min = J(l-cosO=) = 0; (2) при п =- 1 При последующих значениях и величины скорости (2) и (3) будут периодически повторяться. Задача 3.17. Точка М движется по окружности радиуса г с ка-сателыи.1м ускорением величина которого неизменна. В начальный момент точка находилась в Жо и ее скорость равнялась нулю. Определить, в какой момент времени величина нормального ускорения станет равной величине касательного ускорения, и вычислить длину дуги, пройденную точкой к этому моменту. Задача 3.16. Частица, несущая электрический заряд в, движется в однородном электрическом поле с переменной напряженностью E=Asinkt, где А и k - постоянные коэффициенты. Урапнение движения частицы имеет вид Скорость точки (3) можно представить в виде Интегрируя, находим: Постоянная Q определяется по начальному условию: при /=0 3 = 0. Тогда Полагая в этом уравнении / = /{, находим искомую величину дуги; Задача 3.18. Груз D подвешен на двух тросах ЕАС и НВС, перекинутых через блоки Л и S. В начальном положении стрела прогиба ОС = с= 103 м и АС = ВС. Расстояние между блоками Решение. Интегрируя равенство при = const имеем: V,=:W,t + C, (2) где С - произвольная постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при / = 0 v,--0. Подставляя эти значения в (2), находим С -О к, следовательно, V, = w4- (3) Нормальнее ускорение точки определяется формулой К^- Для нахождения момента времени, когда касательное и нормальное ускорения по величине равны, приравниваем их значения и определяем искомый момент времени Л В = 2а = 20 м. Трос НВС наматывается на барабан лебедки с постоянной скоростью v= 1 м/сек. Трос ЕАС разматывается с барабана лебедки с такой же скоростью. Определить траекторию точки С, к которой подвешен груз, а также скорость этой точки. Решение. Выбираем оси координат: начало координат в точке О, ось X направляем но АВ вправо, ось у перпендикулярно к АВ вверх  К задаче 3.18. (рис. а). Определяем из треугольника АОС начальную длину тросов: АС=ВС = Ь, й2 = ЛО-24-ОС = о' + с^= 10+ 10-3 = 400, откуда Ь = 20 м. Рассмотрим произвольное положение груза (рис. б). Длина троса ACi = b -\-vi, длина троса fiC = b - vt. Обозначив координаты точки Ci (х, у), находим зависимость этих координат от времени: (а + л:) + у^ = (Ь + <, (1) (a-xfy = {b-vtf. (2) Вычитая из (1) равенство (2), имеем: x=:~vi = 2t м. Проекция скорости точки С, на ось х будет: и, = х = -и=2 м/сек. Внося в уравнение (1) найденное значение координаты х, определяем зависимость координаты у от времени: (/= - / Ь' - а' + i. 1 - ~i j Vf = - I 300 - 3i проекция скорости на ось у равна производной от координаты у по времени V = V =-===:= Ym - 3t Скорость точки определится формулой Модуль скорости V + 300-3- Для нахождения уравнения траектории груза следует совместно решить уравнения (1) и (3), исключив из них время. После несложных преобразований находим уравнение траектории 1 У'- -] Таким образом, груз движется но дуге эллипса. Решение этой задачи показывает многообразие приемов составления уравнений движения точки. В данной задаче уравнения (1) и (2) являются системой уравнений, определяющей зависимость координат от времени, разрешая которую относительно каждой из координат, мы находим уравнения движения груза (3) и (4). Задача З.Т9. Точка М совершает колебательное движение согласно уравнениям: x = acos(2kt~s), (1) y = bcoskt. (2) Определить траекторию точки М. При каких значениях s траектория точки обращается в параболу? Найти скорость точки в начальный момент времени. Решение. Для определения траектории точки надо исключить из уравнений движения время. Для этого преобразуем первое уравне-1п;е следуюитим образом: jc = a[cos Iki cos s-j- sin 2ki sin s\ = - a[coski cos £ - sinki cos s -- 2 sin ki cos ki sin sj. (3) Из второго уравнения находим: cos ki=:, sin kt= j/l - -j . Подставляя эти значения в уравнение (3), получаем уравне1ше траектории точки М i = (2;-,)cosc + 2-sШs/7Г|Г. (4) Из уравнений (1), (2) следует, что при любых значениях е координаты X и у не превыи1ают соотнетственно значений rta и ±Ь. Таким сбразом, траектории ючки М вписываются в прямоуголышк со сторс-нами 2а и 2Ь. Уравнение (4) обращается в уравнение параболы при е, = О и e.i = ~: Переходим к определению скорвсти точки М. Проекции этой скорости равны первым производным от координат по времени Vx = х = ~ lak sin {Ikt - е), Vy = p=-- - bk sin kt. Находим значение этих проекций в начальный момент времени, полагая t = Q, с'д-о = - 2ak sin £, (5) = 0. Таким образом, в начальный момеггг времени скорость точки направлена но оси X, а ее величина определяется по формуле (5). Задача 3.20. Точка движется прямолинейно согласно уравнению х = Ъ sin 2:: -4 cos 2rd. (1) Доказать, что движение точки является гармоническим колебательным движением. Определить амплитуду и период колебаний. Найти скорость и ускорение точки Р е И1 е и и е. Гармоническое колебательное движение определяется уравнением x = asm{kt - ), (2) или х = а sin kt cos р - а cos kt sin p. (3) Сопоставляя уравнения (1) и (3), замечаем, что они совпадают, если положить = 2;:, acosp = 3, asinp = 4. (4) Из уравнений (4) находим: а' = 25, или а = 5; tgp=A=l,33, или р = 0,925. Подставляя найденные значения а и р в уравнение (2), имеем: х = 5 sm (2: - 0,925). х = 2 sin23 + yj. Доказать, что точка совершает гармоническое колебательное движение. Определить амплитуду, период колебаний, а также скорость и ускорение точки. Решение. Используя формулу тригонометрии sina = -i-(l - cos 2а), представим уравнение движения тонки в виде д^=1 -cos (б7: + т:)=:1-f-sin (б^ + у). Из этой формулы ВПД1Ю, что точка совершает гармоническое колебательное движение около положения А, определяемого абсциссой х, = \. Если перенести начало координат в точку А, то уравнение движения точки будет: х= sin (6 + -j, де X - координата, отсчитываемая от точки А. Амплитуда колебаний равна едшшце, период Т = -=сек. Проекция скорости точки на паправленпе движения определится по формуле v=- = 6- cos Проекция ускорения точки равна dVx dx dt ~ dt -.= % = -S=~36. Sin (6. + ). или - 36 - Збх Период колебаний равен Находим, далее, проекцию скорости точки на направление движения v = x=\q7: cos (2тЛ - 0,925). Проекция ускорения точки равна w = Vx = x=- 2012 sin {Ird - 0,925) = - 4Ttjc. Задача 3.21. Дано уравнение движения точки
Эти значения определяют величины скорости в заданные моменты времени. Для определения среднего значения скорости необходимо разделить пройденный путь на промежуток времени, в течение которого этот отрезок пути пройден. Таким образом, скорость точки за первую секунду будет: Vi ср = 77; = -i- = 44 м/сек, где координата точки в момент =1 сек, S = 48-l-4.1 = 44 м, начальная координата .So = 0. Аналогично определяются величины Средних скоростей точки за следующие секунды:
= 20 м/сек, = - 28 м/сек, = - 100 м/сек. Знак минус указывает, что скорость направлена в сторону отрицательных S. Находим, далее, момент времени, когда точка оста1Ювилась, при-рав1щвая нулю выражение для скорости (1) 48- 12 = 0, Задача 3.22. Точка движется согласно уравнению 5 = Ш - 4< где координата s измеряется в метрах, а время - в секундах. Определить величину скорости точки в моменты времени <i= 1 сек, ti=2 сек, 3=3 сек, t=\ сек. Найти среднюю скорость точки за первую, вторую, третью и четвертую секунды. Найти среднюю скорость точки за четыре секунды. Определить момент времени и расстояние от начала отсчета пути, когда точка остановится. Р^е HI е н и е. Величина скорости определится как производная оТ пути по времени ,=:§=48-)2fl (1) Внося в это выражение значения моментов времени, находим скорости; t = -Ji2 сек. в этот момент скорость точки равна нулю и направление движения изменяется на противоположное. При значении t = 2 сек координата точки равнялась S3 = 48-2 -4-2* = 64 м. Второй отрицательный корень следует отбросить, как лишенный физического смысла, ибо время растет монотонно. Переходим к определению средней величины скорости за четыре секунды. Путь, пройденный точкой за четыре секунды, складывается из пути Sj = 64 м, пройденного за первые две секунды, и пути, пройденного за третью и четвертую секунды, когда точка двигалась в сторону отрицательных s. Находим этот путь следующим образом. При = 4 сек координата точки была: 5 = 48-4 -4-4 = -64 м. Следовательно, за третью и четвертую секунды точка прошла путь I Si -Sj 1 = 128 За все четыре секунды точка прошла путь 64+ 128= 192 м. Величина средней скорости точки равна и^р = -=48 MjceK. Следует заметить, что точка двигалась вначале в сторону положительной оси S и прошла в этом направлении путь .43 = 64 м. Ее средняя скорость при этом была положительна. Далее точка двигалась в противоположном направлении 128 м. Ее средняя скорость, оставаясь по величине постоянной, была нз этом участке пути отрицательной. Как видно из решения этой задачи, при определении средней скорости точки следует учитывать тот факт, что при перемене направлення движения точки перемещение складывается из всех пройденных участков пути и может быть не равно разности координат конечного и начального положений точки. Задача 3.23. Точка Mi брошена вертикально вверх. Уравнение движения точки при отсутствии сопротивления воздуха имеет вид x = V---, (1) где Vo и g-постоянные коэффициенты. Определить скорость и ускорение точки, максимальную высоту подъема точки и время, когда точка достигнет наивысшего положения. Решение. Проекция скорости точки находится как производная от координаты по времени Vx = v,-gt. (2) Проекция ускорения точки при прямолинейпсм движении равна производной от проекции скорости по времеш! или второй производной от координаты по времени V ==Vx = x = ~ g, т. с. ускорение точки - постоянная величина. Из уравнения (2) видно, что при = 0- Vx = V(i. Следовательно, постоянная является значением проекции скорости точки в началынлй момент времени. Чтобы определить момент времени, когда точка достигнет максимальной высоты, воспользуемся тем, что скорость точки в этом положении равна пулю. Обозначая время подъема через Т, из (2) находим: 0 = v,~gT. Таким образом, время, в течение которого точка достигнет наивысшего положения, равно Г=- . (3) Наибольшую высоту подъема h найдем, подставив значение вре-MCiui (3) в уравнение движения (1): й , o g vl vl g 4g-lg- Задача 3.24. Точка Af, Opoaieira вертикально вверх с пачалыюй скоростью Zo- Через сколько секунд Т надо бросить вертикально вверх из того же места с начальной скоростью w,<0o вторую точку Мч, чтобы обе точки встретились в наикратчайшее время от начала движения первой точки? Уравнение движения то.ки, брошенной вертикально вверх, при отсутствии сопротивления воздуха x = v,t - !--, где -начальная скорость точ1Си, g-ycicopeiine свободного падения. Решение. На первый взгляд может показаться, что вторую точку следует бросить вверх одновремешю с первой. Однако скорость второй точки может оказаться достаточно малой и она поднимется па небольшую высоту и упадет па Землю раньше, чем первая точка успеет ее догнать. Поэтому выбор момента времени бросания второй точки HipaeT существенную роль. Так как вторая точка /И.2, броше1шая вверх через 7 секунд после первой, имеет меньшую начальную скорость, то встреча возможна только при возвратном движении первой точки вниз. Обозначим буквой 1 ... 21 22 23 24 25 26 27 ... 51 |
 |
 |