|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы где g-постоянный коэффициент, у - ордината точки, отсчитываемая по вертикали вниз от высшей точки призмы. В начальный момент точка М находилась в А (рис. а). Призма перемещается по горизонтальному полу с постоянной скоростью вправо. Определить абсолютную траекторию точки М, ее абсолютную скорость в момент касания пола, если AC=h. Решение. Выбираем абсолютные оси координат с началом в точке А, ось Ах горизонтальна, ось Ау направим но вертикали вниз. Движе1П1е призмы ABC принимае.м за переносное движение. Движение точки М по отнощению к призме - за относительное движение. Строим на заданных переносной и относительной скоростях   к задаче 5.11. точки М параллелограмм, диагональ которого является абсолютной скоростью точки /И (рис. б). Используя чертеж, найдем проекции абсолютной скорости на декартовы оси координат: Vx - Vg-\- Vr COS а, Vy = Vr sin я. Подставив в эти уравнения значения v, Vx = dxldt и Vy = dy!dt, перепишем их так: ~ = Ve-VVy COS а. J = Vgy sin a. Разделив (1) на (2), получим: dx = l/2gsin< с от 0 до ;тся из на 2 Уу = 4- ctg я dy. (1) (2) Интегрируя (3) в пределах от О до х слева и от О до у справа (так как движение начинается из начала координат), будем иметь: или )/2sina (х sin я -у COS а) = -у. 320 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ точки [ГЛ, V Это и есть уравнение траектории. Траектория - парабола с вер-тикальЕЮй осью симметрии и с вершиной в точке А, так как касательная к ней в точке А горизонтальна {v в начале движения равнялась нулю). Величину абсолютной скорости в момент, когда точка касается пола, находим из (1) и (2), учитывая, что в этот момент у = ft: Направление скорости определится в этот момент углом р, который она составляет с горизонталью ctg Р = ctg а-1- Vlgh sin а  Задача 6.12. Штурман, находящийся на мое гике морского грузового транспорта, идущего на северо-восток со скоростью 16 узлов, определил величину и направле1ше отЕгосительной скорости дру[ого суд[!а. Эта отгЕосительная скорость оказалась рлв[[Ой 16 12 узлам и на-нравлеиа на запад. Определить величи[[у и направление абсолютной скорости второго судна, т. е. eio скорость относительно Земли. Узел - единица скорости, равная одной морской миле в час, а мор-К задаче 5.12. ская миля равна 1852 м. Суда рас- сматривать как ТОМКИ. Р е HI е и и е. Движение второго судна будем рассматривать как сложное. Примем за абсолютное движение второго судна его движение по отнощению к Земле. Относительным движением второго судна будем считать его движение но отношению к грузовому транспорту. За переносное движение второго судна примем движение той точки подвижной среды, жестко связанной с грузовым транспортом, через которую в данный мол1снт проходит второе судно. Заметим, что переносное движение является при этом поступательным движением вместе с грузовым транспортом. По условию задачи известны: относительная скорость второго судна, направленная на запад: tv= 16]/2 узлов, переносная скорость при поступательном движении, равная скорости грузового транспорта г;=16 узлам, направленная на северо-восток. Согласно теореме сложения скоростей 0а = 0еЛ-0г Для графического нахождения абсолютной скорости второго судна построим треугольник скоростей (см. рисунок). Для этого отложим пз произвольной точки А переносную скорость ч), направленную иа северо-восток, а из конца переносной скорости под углом в 45= на запад откладываем отрезок, равный Ф^. Замыкающая сторона треугольника будет абсолютной скоростью. Модуль абсолютной скорости определится но теореме косинусов Va = Vvl -\- V} - \-v-r - 2tio cos (v, Vr) = 16 узлов. Чтобы найти угол а, определяющий направление абсолютной скорости, замечаем, что Va = Vg, следовательно, треугольник скоростей равнобедренный и угол а = 90°. Таким образом, абсолютная скорость направлена на северо-запад. Задача 5.13. При определении скорости судна относительно воды производят пробег судна вдоль специально оборудованной мерной  К задаче 5.13. прямой линии в двух взаимно противоположных нанравлеипях. При этом время npo6eia в одном направлении оказалось равным 9 мпн 20 сек, а время п|)обега в Обратном направлении И мпн 10 сек. Длина мерной линии 5=3 морские мили. Определить величину скорости судна огносительио воды Vr, полагая, что в районе испытаний имеется неизвестное, но постоянное но величине и направлению течение. 11 М. и, Еать и др., т. I Решение. Будем рассматривать движение судна как сложное; За абсолютное движение судна примем его движение по отношению к Земле. Скорость этого движения не известна ни по величине, ни по направлению. За относительное движение судна примем его движение по отношению к воде. Относительная скорость известна по направлению (она направлена по мерной линии), неизвестна но ве-лич1Н1е, по при обоих пробегах величина относительной скорости неизменна. За переносное движение судна примем движение судна но течению вместе с водной массой. Переносная скорость будет равна скорости течения, величина и нанравление которого постоянны, но неизвестны. Запишем теорему сложения скоростей Ф„ = Ф,--г>,. (1) Умножим это векторное равенство на /j, время первого npo6eia, получим Проектируя последнее равенство на naiipaiMciHie мерной линии s, получим (см. рис.): Stv./i+t/f.cosS, (2) где неизвестный угол между течением и мерной линией обозначен буквой р. Применим аналогичный прием ко второму пробегу. Умножая векторное равенство (1) на t, время второго npo6ei а, получим: Проектируя это векторное равенство на нанравление мерной ли-1НШ S, найдем: 6 = v4i - vj.i cos p. (3) Учитывая, что vv-i и vf=v,i по условию, перепишем уравнения (2) и (3) в виде S=v,.ti-\- T/i cos [3, S-vt - vti cos p. Решив эту систему уравнений, исключим ti cos р и найдем искомую величину скорости судна по отношению к воде v = . Если в этой формуле расстоя1Н1е 6 дано в милях, а время t в секундах, то размерность будет маля/сек. Так как скорость судна принято излгерять в з'злах, т. е. в морских милях в час, то для перевода в узлы пало умпожигь праиую часть (4) па 3600, т. с. па количество секунд в часе. Итак, 1- 3600 узлов. Подставляя числовые данные /] = 0 мин 20 сек = 560 сек, t.i = = 11 мин 10 сек = 670 сек, паходи.м: = -ТГШТн' 3600 = 17, узла. 2 . 560 670 Задача 5.14. Судно идет на восток со скоростью 12 узлов, при этом флюгер на мачте показывает южный ветер. Судно изменило курс и идет на север с прежней но величине скоростью, флюгер теперь показывает западный ветер. Л' I I 1 I I .У  к задаче 5.14. Определить величину и направление скорости ветра по отиоше-пию к Земле, считая скорость гетра постоянной. Примечание. НаименоваНгШ курса указывает, куда идет судно, наиме1К)ванме ветра указыиает, откуда ветер дуег. Решение. Рассмотрим движение ветра как сложное движение. За абсолютное движение ветра примем его движение по отношению к Земле. Относите.тьиым движением ветра будем считать его движение по отношению к движущемуся судну. За переносное движение ветра примем его движение вместе с движущимся судном. Абсолютная скорость ветра не известна ни по величине, ни но направлению. Относительная скорость ветра известна только но направлению для двух моментов времени. Переносная скорость ветра, равная скорости движупегося судна, известна но величине и направлению для тех же моментов времени. Согласно теореме сложения скоростей имеем: Следовательно, при первом курсе судна теорема сложе1Н1я скоростей для ветра запишется так: Быпол1шм построение, соответствующее правой части уравнения (1). Отложим известный вектор vi и из его конца проведем направление вектора vi (рис. а). Наиишем теорему сложения скоростей для ветра при вторс.м курсе судна: = -Oei -;- -On- Построение правей части этого равенства дппо на рис. б. Совместим, далее, оба рисушса. Другими словами, вьнюлиим оба ностроС1ШЯ сразу из одной точки Л. Тогда начало вектора v совпадает с точкой Л, а пересечемге направлений и v., определит конец вектора г' (рис. в). Согласно условию абсо.нотная скорость вегра постоя!П1а, т. е. ф^, = ф^2. Это учтено при nocTpceiHiii рис. е. 14з нос [роения (шходим, что ветер юго-западный. Его ciiopocTb равна Va=l2 У2 узло1! = 12 /2 Mjceic 8,73 jfjceK. Для приобретения навыков в р е ni с н и и задач на сложение скоростей р е к о Л1 с и д у е т с я реши i ь следу к^-щне задачи из Сборника задач по теоретической механике И. R. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 427, 428, 429, 431, 435, 436, 441. § 4. Сложение ускорений 1°. Определение ускорений точки при переносном поступательном и произвольном переносном движениях. Зависимость между ускорениями точки в абсолютном, относительном и переносном движениях определяется теоремой сложения ускорений, иначе называемой теоремой Кориолиса, Wa = W-{-Wr-\-W. (1*) Согласно этой теореме абсолютное ускорение точки равно геометрической су.мме переносного ускорения Wg, отиоситсльного ускорения Wr и кориолисова ускорения w. Для определения огносительпо1-о ускорения точки следует мысленно отвлечься от переносного движения и вычислить относительное ускорение по правилам кинематики точки. Для определения переносного ускорения следует мысленно остановить относительное движение точки и вычислить переносное ускорение но правилам кине-матики точки VD y = -Г е-.у - ту Л г.у Г су [ (5*) При этом модуль аосо.тютпого ускорения определяется по формуле как ускорение той точки псдиижной системы координат, с которой совпадает в данный момент Д[игжу1иаяся точка. Кортлисово (или новоротнос) ускорение вычисляется но формуле г , = 2а),Х1.. (2*) где cOg-вектор угловой скоросги переносного движения, т - вектор огносителыюй скорости точки. Величина кориолисова ускорения равна га, = 2a)rj sin (оСфД (3*) Напрааленне кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведеппя; кориолисово ускорение направлено перпендикулярно к плоскости, в которой лежат и ii, в ту сторону, чтобы наблюдатель, стоянтий но вектору w, видел поворот от вектора к вектору па наименьший угол против часовой стрелки. Наряду с определением направления ускорения Кориолиса как векторного произведения X г существует и применяется для нахождения направления этого ускорения правило И. Е. Жуковского: cnpoeic-тируем относительную скорость на плоскость, персюпдикулярную к угловой скорости (Ор, и поиернем проекцию в этой плоскости на угол 90° в сторону врашении определяемого - это и будет направление ускорения (\ориолиса. Если траектории точек подвижной системы координат не прямолинейны и отпосителинее движение точки также яв.тяется криволинейным, то целесообрагшо 1и.!числять переносное ускорение как геометрическую сумму по[)малы10го п касательного переносных ycKopeiniti, относительное ускореппе как геометрическую сумму нормального и касателыюго отпосптельных ускорегшй. При этом фч)рмула (I*) записывается в следуюитем виде: 1де Шрл, wn - соотмететвенпо нормальные ускоре1И1я в переносном II относительном движениях, atp w. - соответстиенпо касательные ускорения II переносном и относительном движениях. При гюльзовапии теоремой сложения ускорений может быть применен метод проекций. Выбирая (юиодвижпую систему координат xyz и проектируя равенство (4*) па каждую из этих осей, пахиднм: а иаправляюии1е косинусы равны cos(ot;?x) = . cos(w7y) = -, со5(1с;Г^) = . (7*) Необходимо заметить, что в случае переносного поступательного движения угловая скорость агого движения о) равна нулю и согласно формуле (2*) обращается в пуль и кориолисово ускорение. Теорема сло51%ения ускорений при переносном поступательном движении упро-п!,аетс;!: Wa = w,-\ (8*) Из формул (2*) и (3*) следует, чю ускорение Кориолиса обращается также в нуль, если угловая скорость переносного движения пг.раллельпа относительней скорости. Кориолисово ускорение обращается в нуль и в те моменты, когда 0) или равны нулю. Пользуясь теоремой сложения ускорений, м о ж н о решать следую щ и е типы зада ч: 1. 1-1звестпо относительное л переносное движения точки. Необходимо опрсде.тить абсолютное ускорение точки. 2. Известтю абсолютгюе и переносное движения точки. Необходимо определить относительное ycKOpeinie точки. R первом случае, пользуясь ура1и1епиями относительного движения, следует определить по правилам кинематики точки относительную скорость и относительное ускорение точки. Независимо от этого, исходя из уравнений переносного движения, следует найти иерегюс-ную скорость и переносное ускорение точки. Далее, зная угловую скорость переносного движения и относительную скорость точки, можно вычислить кориолисово ускорение но величине и направлению. После этого абсолютное ускорение может быть определено геометрически, как замыкающая сторона многоугольника, построенного на векторах переносного, относительного и кориолисова ускорений. Можно поступить и иначе, используя упомянутый метод проекций. Для этого достаточно спроектировать геометрическое равенство (1*) на три взаимно перпе1щикулярпые оси координат, найдя тем самым проекции абсолютного ускорения на эти оси, согласно формулам (5*), и, далее, определить величину и направление абсолютного ускорения но формулам (6*) и (7*). При реше)1ии задач рекомендуется такая последовательность действий. Необходимо: 1) разложить движение на составляющие, определив абсолютное, отпоогтельное и переносное Д1!ижепия; 2) выбрать две системы координат: абсолютную и подвижную; 3) мысленно остановив переносное движение, определить скорость н ускорение точки в относителыюм движсеши; 4) мысленно отвлекаясь от относительного движения, найти угловую скорость nepenociioro движения и ускорение точки в нерснос1ЮМ движении; 5) по известным угловой скорости переносного движения и скорости точки в относигельиом движении найти кориолисово ускорение точки; 6) пользуясь методом проекций, определить проекции абсолютного ускорения на осп координат; 7) по найденным проекциям абфлютного ускорения найти искомое абсолютное ускорение по величине и направлению. Задача 5.15. Цилитщр вращается с постоянной угловой скоростью (а,. По поверхности цилиндра движется точка М согласно уравнениям Xi = 3 cos 2-!:t, j [ = 3 sin 2-t, z, = -M. (I) Оси координат jc у^, жестко связаны с цилиндром и, следовательно, вращаются вместе с ihim с угловой скоростью о),. Ось 1 совпадает с осью симметрии. Проекция переносной угловой скоросги на ось z равна ez = = 2 сек~\ Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Как изменятся абсолютные скорость и ускорение точки М, если нзпраиленпе вращения цилиндра изменить иа обратное, т. е. если u)-, =--2 сск'? Решенпе. Вращение цилиндра принимаем за переносное движение. Движение точки Л! по поверхности цилиндра будет относ1ггельтн>1м движением. На рисунке [Юказана винтовая линия - относительная траектория точки М Она определяется уравнениями (1). Расстояние точки А1 от осп вращения равно Переносная скорость точки М есть скорость той точки цилиндра, с которой совпадает в да1Н1ый момент точка М. Ее величина равна ti(, = ru)= 3 2 = б м/сек. Эта скорость лежит в плоскости, пернендикулярной к оси вращения z и направлена по касательной к (юверхности цилиндра. Переносное К задаче 5.15. г' = Г (Tv.v.v ! v,f - \- = У (С- I- e,f -.-2 25,5 м/сек. (4) Абсолютная скорость лежит в касательной плоскости к цилиндру и составляет угол ос с образующей цилиндра, причем tga = j; = 52.4,14 = 8,28. (5) Определяем проекции относительного ускорения на оси OXi, Ovi, OZi как нроизво.дные от относительных координат по времени = .V] = - 12т: COS Tzt = - 4--Х да = V, = - 12г.-2 sin 2~/ = - 47:3- xi =Zi = Q. Величина относительного ускоре1Н)я равна ъ1, = Ух1+у1-\-2\=и^ м1сек\ ускорение точки М есть ускорение той точки (шлиндра, с которой совпадает в данный момент точка М. Вращение цилиндра равномерное, следовательно, переносное ускорение точки будет переносным нормальным ускорением, равным по величине да, =: от, = ГШ? = 3 4 = 12 м1сен-\ Оно направлено по перпендикуляру, восставленному к оси вращения Zi из точки М. Относительная скорость точки М определится, исходя из системы уравнений относительного движения (1). Проекциг! относительной скорости на оси jc з'ь равны первым производным относительных координат по времени: Vr. = Xi = -6-Ir.f, (2) о', =.li = б- cos 2-::/, (3) Vr = и = 3. Величина относптельпой ско|юсти Лбсол!011:ая ciiopocib точки М является геометрической суммой [гереносной и относительной скоростей. Если сложи.ть геометрически две соста ляюии;е относительной скорости г' и v,y, то из урапне-ний (2) и (3) следует, что результируклцая будет paniia по модулю бт. и направлена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, но касательной к поверхности цилиндра. Следователыю, эта результирующая ф^,. совпадает но направлению с пере1ЮСной скоростью ф,. Итак, абсолютная скорость точки М равна но величине 1 ... 29 30 31 32 33 34 35 ... 51 |
 |
 |