|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы скорость и ускорение шаров в переноском движении, остановим мысле1И10 относительное двииение. Проекция угловой скорости переносного движения ira ось вращения равна производной от угла <р по времени При [=10 сек эта проекция равна ш = 3 0,3 10 = 90 сек-К Проекция углового ускоре1шя в переносном движении на ось вращения определяется как производная от ш, но време1[и = ez = = kt. в момент 1=10 сек £ = 6-0,3- 10=. 18 сек-\ Переносная скорость есть скорость шара при вращении регулятора вокруг вертикальной оси ОС. Она равна по величине произведению радиуса враитения на переносную угловую скорость. В момент /1 = 10 сек D, = /sin a(u, = 90 sin 30°-90 = 40,5 mjcck. Переносная скорость шаров направлена параллельно оси х; для Hiapa А она совпадает с положительным направлением, для шара В - с отрицательным направлением оси (при t=t{). Переносное ускорение складывается из нормального и касателыюго ускорений. При =10 сек величина нормального переносного ускорения = / sin aojf, = 90 sin 30° ЭО см/сек' 3645 м/сек^ Это ускорение направлено перпен-дпкулярно к оси вращения ОС. Величина переносного касательного ускорения равна произведению радиуса вращения на значение углового ускорения . a = /sinaj = 90 sin 30°-18 см/сск' = 8,\ м/сск-\ Оно направлено параллельно оси х и совпадает с направлетшем переносной скорости каждого шара (рис. б). Переходим к определению кориолисова ускорения == 2(0, X Or Величина кориолисова ускорения будет: = 2(u,T/,. sin ((0 ч)г). Замечая, что угол между о, и равен 60°, находим значение в момент 1 = 10 сек: = 2 . 90 2тс sin 60° см/сек = 1,8 ]/ 3 м/секК Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения. Кориолисово ускорение направлено пер[1емди-кулярно к плоскости, определенной векторами со, и г в ту сторону, с которой поворот от вектора к на паименыпий угол виден против часовой стрелки. В нашем случае ускорение Кориолиса направлено по переносной скорости (рис. б). Найдем теперь абсолютную скорость и абсолютное ускорение шара, пользуясь методом проекций. Проекции абсолютной скоростп на оси находим, проектируя иа них векторнсе равенство = + Имеем для шара А: vx = V = 40.5 MJceK, v y = - Vr cos 30° = - 0,01 Yi~ м/сек, = cos 60° = 0,01 t: м/сек. Величина абсолютной скорости равна = Yvlx -- vly -\z 40,51 м/сек, a ее направлепие определяется значениями нанравляюишх косинусов: cos (С^)= - = 0,999, COS (vy) = = - 0,00134, COS (vz) = € = 0,000775. Согласно теореме сложения ускорений абсолютное ускорение Проектируя это векторное равенство на оси координат, находим проекции абсолютного ускорения шара А: wx = е: -- tc я 17,9 м/сек^, wywn-Vrn sin 30° - icv. COS 30° =г 3645 м/сек^, = cos 30° -f aVx sin 30° 0,0055 м/сек\ Величина и направление абсолютного ускорения определяются по обычным формулам: Wa - Vwax + ау Г ол 3646 м/сек\ COS i.wx) = -- - 0,005, COS (wy) = я O.QQQ, COS (wz) = 1,37 1 о . 2°. Скорость и ускорение точки в полярных, сферических и цилиндрических координатах. Многие задачи кинематики сложного движешт точки целесообразно решать в полярных, сферических и цилиндрических координатах. Одш1м нз способов ренгсЕШя задач в криволинейных координатах является разложение абсолютного движеш1я точки на переносное и относительное движения. При решении задач в этом параграфе рекомендуется такая п о с л е д о в а т с л 1> н о с т ь действий. Заданы относительное и переносное движения, требуется определить абсолютное движение: 1) выбрать подвижную и неподвижную системы координат; 2) составить ураг.1Ю1П1я отпосительпого движения точки; 3) составить уравпспия iiepenociioio диижеипя; 4) получить уравиеши! абсолютного движения и найти абсолютную траекторию точки; 5) определить скорость точки в от1Юсптельпом движе1ши и ее переносную скорость; 6) пользуясь теоремой сложения скоростей и теоремой Кориолиса, найти абсолютную скорость и абсолютное ускореппе точки. Задача 5.20. ()п1)еделпть проект ! скорости точки М на оси полярной системы координат. Р е HI е ii и е. Рассмотрим двничеиие точки М ио плоской траектории АИ как составное, сложное движение. Относительным движением назовем прямолинейное движение точки М вдоль радиуса-вектора р. Переносным дпнжением тотла будет движение точки М вместе с радиусом-вектором вокруг точки О. Находим ирс'скцпю от пскптельпсп скорости точки Л! па наираилепие радиуса-векто|)а как прои.тнодмую от радиуса-вектора по времени. Ее называют радва.1ЫюГ1 скорое, ью и обозначают букво(1 v : Переносная скорость - это скорость точки М, жестко связанной с радиусом-вектором. Эта скорость.  li задаче 5.20. перпендикулярная к радиусу- вектору, называется транснерса.тьной скоростью и равна но величине о = Й- Абсолютная скорость точки М определится как геометрическая сумма относительной и переносной скоростей. Так как эти скорости взаимно периеидикуляриы, то величина абсолютной скорости равна Задача 5.21. Определить проекции ускорения точки М на оси полярной системы координат и оси цилиндрической системы координат.  К задаче 5.21. Решение, а) Полярная система координат. Рассматривая, как и в предыдущем случае, дтшение точки как составное, ириме1шм для определения уско1)ения ючки теорему Кориолиса = -р 4 с- Проекция относительного ускорс1шя на направление радиуса-вектора равна w,= р, так как относительное движение прямолиней1юе. Это ускорение направлено по радиусу-вектору. Переноснее ускорение складывается из двух соскшляющих: переносного касательного уско1)ения и переносного нормального ускоре1шя w, направлено нернеидикулярио к радиусу-вектору, а направлено от точки М к центру вращения О (рис. а). Величина кориолисова ускорения да, = 29г>р = 2фр (так Как вектор а направление кориолисова ускорения = 2(1) X л совпадает с переносным касательным ускоренкем. Далее, находим проекции ускорения точки па оси полярных координат. Проекция ускорегшя на радиальное направление w = w, -zv, =p-p-\ Проекция ускорения па трапсверсальное направление сс = е-. Г^с = 9-?-\- 2р? = у 1 (РЦ)- Таковы проекции ускорения точки на оси полярных координат. б) U, и л и н д р и ч е с к а я система координат. При про-странствеппых движениях точки иногда удобно использовать цилип-дрические координаты. В этой системе координат положоше точки М определяется двумя полярными коордипаталш р и ср и апликатой z (рис. б). В этом случае проекция скорости точки находится по формулам: Р = Р. .--9Ъ v, = z. Величина скорости а ее направление дается значепиялпг направляющих косинусов cos (г Тр) = , cos = , cos (гО) = . Проекции ускорения на цили.идрические осп запишутся таю щ'р = р - = pip + 2pi, Xi), = г. Величина ускорения га = Vffip -- га - - га;, а паправляюигие косинусы вычисляются по формулам: cos iw) = -J-, cos (tt- 9) = , cos (аГг) = . Задача 5.22. Точка движется по поверхности конуса с углом раствора при вершине 2a = G0 согласно уравнениям: г -= а^е --у-е-), (1) где время измеряется в секундах, а г и а -в метрах. Положение точки М определяется координатой z и полярными координатами г и <р в плоскости, перпендикулярной к оси Oz. Определить траекторию точки, а также ее скорость и ускорение в проекциях па цилиндрические оси координат г, <р, z. Найти начальные координаты и начальную скорость точ1си, а также проекции ускорения на образующую и на нормаль к поверхности конуса.
 к задаче 5.22. Решение. Для определения трг.ектории составим уравнение поверхности конуса Исключая из системы уравнений (1) и (2) время, находим: Совокущюсть двух уравнений (3) и (4) определяет простран-стпе1Н1ую траекторию точки М. Началынле координаты точки М находим, подставляя в (1) и (2) значение / = 0. Тогда Го = а1/2, 9о = 0, г^ = ау<2. Для определения скорости находим проекции ее па оси цилиндрических координат: Ир = г, гф, Vz = г. Кроме того, из (3) следует, что r = z н, следовательно, vv,. Далее, получаем из (1), дифференцируя но времени, \У2 \ откуда Следовательно, значение трансверсальной составляющей скорости .,=. = 2/2-f,]/.-:- Определяем величи1:у абсолютной скорости точки Отсюда начальная скорость точки V, = 2а. Для определения ускорения находим его прсекции на цилиндр!!-ческие осп ио формулалк w, = r-rCf, (6) a.=r3-:-2rcf, (7) w, = z = г. (8) Далее, дифференцируя (5), получим: Тогда Г = га, = а-!--5-т,. (9) YciЛ-e-. (10) Подставляя (9) и (10) в (б), определяем проекцию ускорегшя на радиальную ось Переходим к определегшю проекции ускорения на трансверсаль-ную ось. После несложшлх преобразовагшй находим, что а 1-е et.\.t-u /о а т 1 ..ei 1 -\-е Для Определения значения трансверсальной составляющей cicopo-сти находим из (2), дифференцируя это уравнение но времени: 1 2е2 Подставляя эти значения в (7), получаем: Отсюда видно, что ускорение точки лежит в вертикальной плоскости, проходящей через ось симметрии конуса и рассматриваемую точ1су. Эта плоскость показана на рис. б. Выберем оси MXj и Му\, первую но образующей конуса, вторую по нормали к его поверхности. Найдем проекции полного ускорения точки М па эти оси. После несложных преобразований получим: Wx, = Wf cos 4о° -I- w, cos 45° = a V2 VTF = VJr = OM. Таким образом, проекция ускорения иа образующую численно равна расстоянию точки от верщины конуса. Далее, 4 1 а aV г у, = - siH 45° + sin 45= = :,з/2 = - Задача 5.23. Скорость V] корабля А относительно воды постоянна по величине и всегда направлена но перпендикуляру к лишт визирования на пеиолннжную точку П.  К за.таче 5.23. Какую кривую (относительно неподвимсного берега) онипгет корабль, если это движение происходит при течении воды с постоянной по величине и направлегшю скоростью v. В пачалып.1й момент времени <р = 0 и г = Га (рпс. б). Корабль рассматривать как точку. Решение. Течение поды является переносным движением. Циркуляция корабля со скоростью ®i будет относительным движением. Абсолютная скорость корабля определится как геометрическая сумма переносной и относительной скоростей. [Зьберем декартовы оси координат-: ось Их параллельна скогосги течения, ось Иу нернепдикулярпа к скорости течения. Полярные ко- г - COS 9 Проинтегрировав это дифференциальное уравие1!ие с разделяющимися переменными, найдем: In Сг = - In cos <5--- ; или Сг = -. (3) cos If - - Определим из (3) произвольную постоянную С, подставив началын,1е дап1Н,1е ср = 0, г = Го; в результате имеем: Гл г -У, Внося это значение произвольной постоянной в (3), получим уравнение абсолютной траектории корабля г 1--- cos э Это-полярное уравнение кривых второго порядка; эксцентриситет кривой е = - равен коэффициенту при cos о, г/. Если --Tl, то найде(щая траектория - эллипс с фокусом в точ- ке В. Параметр эллипса = Го f 1 , с другой стороны, параметр эллипса определяется через эксцентриситет и больщую полуось а формулой р=а(1-с'). Приравнивая элт\ два значения параметра, находим длину большой полуоси, перпендикулярной к скорости течения, а = ---. При 0> траектория - гипербола. ординаты корабля будут определяться радиусом-вектором ВА = г и углом yBA = <f. Проектируя абсолютную скорость точки иа направление радиуса-вектора и на перпендикуляр к нему, имеем: г = - sin <р, (1) r& = Vi-1), cos <р. (2) Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим: dr Ve smtf в силу принятых к задаче начальных условий ( = 0) случай v = Vy приводит к равенству нулю абсолютной скорости корабля в начальный момент. Следомагельно, корабль останется в этом случае неподвиж1н.1м. Однако можно показать, что при других началыних данных случай 1 соответствует параболической траектории дви- жения корабля. Задача 5.24. Прямая d вращается вокруг точки F с ностоя1пюй угловой скоростью ш и движет но эллипсу кольцо М. Полуоси эллипса а и Ь; фокус эллипса F, расстояние от центра до фокуса равно с. Определить модуль скорости точки М. Ретение. Полярное уравие1ше эл.типса имеет вид 
е cos f К задаче 5.24. точки в иолярт.1Х координатах равен Здесь p = bia - параметр эллгтса, е = cja - эксцентриситет эллипса. Полярная ось наиравлена из фокуса F вдоль большой осп эллипса (на рисунке вправо). Модуль скорости - у \dtj V Из уравнения эллипса, дифференцируя, находим: \ut) dr dt ыре sin о (1 - f cos-f)- С другой стороны, из полярного уравнения эллипса имеем: Здесь dt 1 - f COS о ш = - . dt Подставляя значе1Н1я (2) и (3) в формулу (1), получаем: {[ - е cos cf) т,У 1 - е' - 2е CO.S 9. 1 ... 31 32 33 34 35 36 37 ... 51 |
 |
 |