Навигация

Главная » Мануалы

1 ... 62 63 64 65 66

§ fil УСТ0Г|Ч1Ш02Т1, ЯПИЖР.НИП G51

2. Устойчивость д u и ж е п и я и о первом) приближению. Penieiine задач па определение устойчивости движения прямым методом интегрирования дифференциальных уравнений возмущен-1ЮТ0 движения в болыпинстпе случаев пе может быть осуществлено ввиду невозможности получения решения в замкнуто>[ виде.

В связи с этим ншрокое распространение по.чучил способ определения устойчивости движения но первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Обгцая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно .\. М. Ляпунов впервые устагювил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой онисыьаегся нелинейными дифферепциалын.1-ми уравнениями.

Способ определения устойчп1ЮСтп движе1И1я т первому приб.чн-жепию заключается н следующем. Пус ть

Ji=/i(0- y-i = f-ii()..... y =--fn{i) (1*)

является част1п.1м решением системга диф(])ерепциалы1ых урагшепий первого порядка:

-=УАУиУ,- ...,У,г i) (2*)

при заданных начальных условинх движения

У1=Уи>, 32=3 1,. .... J =J> при = 0. (3*)

Решение (Г*) определяет пепозмуи1енное движе1же системы. При д[)угих началып.1Х условиях дщтжепня .значения переменных у/, определяющие движение системы, можно представить в виде

1.=Л(0 + .- (4*)

Тогда ураыгения (2*) п[)П.мут вид

-1- i - = Y, I/, (О -Ь X /, (О +х / (О -х„,( ]. (о*)

Вычитая из каждого соотгетсгпенного уравнения (5) ур.;вне-iHie (2*), найдем

IgL = (/, () ..., / it)х, i\-Y, I/, (0..... Л (О, Я Обозначая правую часть этих уравнений для краткости:

==y,AfAi)-r-u ...Jnit)-rXn n-y,\fi( > fAtl П, (7*)



652 устойчипость Рлсноп:сия и малые дпижр.нин системы гл. хш

получим систему диф()ерепци£ льпых ypainieiniH ьозмущеппого диижеиия Из (7*) следует, что

.V,(0, О, О, 0 = 0 (П*)

ii, следоиателыю,

х,=х, = ,..=л- = 0 (10*)

является частным решением системы (8*), соотпстстпуюптим нсьозму-шениому дни-жению.

Для рассмотрения устойчииосги но первому приближению в системе уравнении (8*) в правой часги выделяются линейные слагаемые. При эюм ограничи.мся случаем, когда время не ихо.чиг явно в правую часть уравнений

lf=aii\-\-k.A-i-- Чкх„ - Г (х„ Х.2, х„}, (11*)

г1Х/л ,. ,

где 2*5 = ;;7j:.,i- .,v,= ... =.v,.-.o ki>u .... а- ) содержш слагаемые

в10[)ого и более высоких порядков относительно переменных .ЧГ/,.

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую нз {{{*) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях)

= *,-1 -Г K--l - Н - 2*/ я (> -*)

и находит xapaKTciHic 1 ичсскос урапнение системы (12)

z -\-A,z- -у А.,: ---...-- .\ = Q. (13*)

Согласно первой теореме Ляпунова, невозмущепное движение, определяемое уравнениями ([*), устойчиво, если все корни xapaKie-ристического уравнения (Ь')-) нмеюг отрицательную вещественную часть. R этом случае отброшенные не.нтейные с.тагаемые и правой части уравнений (11*) не влияют на устойчивость движения.

Сог.тасно второй теореме .Ыпуноиа, невозмушенное движение, определяемое уравнениями (1*), неустойчиво, сети среди корней характеристического уравнения (13*) имеется хотя бы одни корсчш с но.тожитсльной пешестионной частью. И п этом с.тучае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (11*) не .Moryi влиять па устойчивость явижения.

Таким образом, исс.тсдование но норному нриб.тиженшо позволяет окончательно ответить па подрос оп устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического ур.тннення имеют огрина-те.тьную и.ти положите.и.ную ношестнсииук! часть.

Ес.тн в числе корней характеристического уравнения имеются корпи, вещественная часть которых равна нулю, то есть нулевые или



s 61

УСТоГ1Ч11ВОСТ1> ДВИЖЕНИЯ

чисто мпимме корни, то судить об устойчивости дв11же1тя ио первому приближению нельзя. В этих случаях, на.чьпмемых -крнтпче-скимп*, как показал Л. .М. Ляпунов, необходимо учитывать в дифференциальных уравнениях члены порядка выше первого.

О знаке корней характернсгического урагщения можно судить на ocHOBaiHiH теоремы Гурвица, которая формулируется слслуюпщм обрлзом. Уравнетге л-й CTenemi с HOniccTBOinJUMn коэффнцнснтамп

a,tX -- а.х - --... - - а„ = О (14*)

имеет все корни с отрицательной вещественно!! частью, ес.ти все онреде.жтели вп.та

D, = a D.,=

\a-.

I a, й„ 0 lh = \a?, a.i a,

0 0 ... 01

I a,.

.~)iO

условие яг!лястся

положитслмгг,!. При этом ai = 0, если п. необходимым и достаточным.

При р е И) е н п и задач fi а исследование у с т о и ч т-в о с г п д в и -,1; е н и я с н с т е м ы но п е р в о м у п р и б л и е и и ю р е к о м е п д у е т с я с л е л у ю щ и й н о р я д о к д е й с т в и \v.

1) определяем число стикней свободы систс'.мы п выпир;,ем обоб-И1.енные координагь!;

2) псмьзуясь ураипсчшями .(агранжа, состав.тяем Д1Г(11)среп1и|аль-пые уравиепия невозмущепното движения;

сос1ан.1яем дифферепниальные уравнения возмущенного движения, полагая, что обоГчценньс координаты и обобщечнияе скорости в нозмуначиюм движении отН1ч;иотся от гнпчений н иевоз.мущениом лмижепни на величины ne[HiOro порядка малости;

4) в иолученнььх диффсренцпал1>ных ypaBiieinnix отбрасынасм сля-laoMbie второго и бо.тее высоких гюрядков .малости;

5) вычитаем из дифферснцтальных уравнепнй BO;iMyniennoro движения соответственные дифференциальные уравнения певозмунсснпого движения;

6) для случая сисгемы JHHieiHn.ix ди()ференцпальрп.1Х уравнений в вариациях с ностоянпьпщ коэффициентами составляем характеристическое уравнение;

7) поль:!уясь теоремой Гурвица, опрсде.тяем bitikh нещестче1П1Ых частей корней дви'жеппя характеристического у15авнепия и зат1.м судп.м об устойчивости движения исходной систс.хп.!.



654 УСтойчипос;т1> рлнповеспя и малые движения систе.мы гл, Х1И

Задача 465. Центробежный регу.тнтор Уатта прел назначен д.тя поддержания равномерного враи;ате.-1ьного движения. Он состоит нз двух стержней 0.4 и ОВ одинаковой длины /, 1иарнирно укреп.тсн-IH.IX в неподвижной точке О- Па копнах стержни несут два шара массы т каждый (рис. а). При помопш двух стержней СВ н DC

муфта С, которая может сколь-i ЗИ11> по вертикальной осп,

шарннрпо соеди1К)на со стержнями, несущими шары. Шары считать материальными точками. При увс.тичении угловой скорости вращения шары рас-

--холятся, муфта С подымается,

умсньИ1ая впускное отверстие д.тя пара. При уменьшеннн угловой скорости Hia[)bi сблн-жа101ся, муфта С опускается и fi) увеличивает отверстие для 1шу-ска пара.

Пренебрегая массами стер-жней и мус()ты, а .акже си.тами трения, определить устойчивость движения регу.тятора. Момент тншрнии врантаюишхся частей относительно вертикальной оси равен /п (без учета niapcB).

Восстанавливающий момент, вызванньП! отклонение.м угла -f от 11С110-амущепного :ик1чеиня -9 , ранен



К талаче 46-1.

где к-ностоянтп.1й полотчитсльный коэф1риниент.

Penienne. Регулятор в це.том представляет соГюй систе.му с дву.мя степенями свободы. Выбираем обобщенные коор.ншаты: угол ноЕюрота вокруг оси ОС, который обозначим Й, и угол попорота стержпей ОЛ и ОВ вокруг -оризопта.тыюй оси, псрнснлику.тярной к н.тоскости ОЛВ, который назовем ср. Онредс.-тм значсмшс уг.та z соответствующее пран;ению ст.стемы с постоянной заданной угловой скоростью p = u)n. Для -.jToro достаточно рассмотреть опюсите.тыюе равновесие одного из шаров (рнс. б). К шару приложены: вес/(/= и реакция стер-жня N. Присоединяя к -этим сила.\[ нормальную сп.ту инерции 7 (У„ =/л/sin 9i,(u;), можем рассматривать совокупность трех сил как уравнопенгенпук' сисгему.

Проектируя все сплы на направление, нерпендшу.тярное к N, нмсе.м:

./ cos S - ing sin Co = 0,



S 61 УСТОЙМИВОС-И ДВИЖЕНИЯ 655

/ cos 9

Таким образом, задатюИ угловой скорости npauiemiH системы соответствует щюлис опредслеииыН угол ср . .Это устаиовивитееся движение систем!.! на:и,11!ае1си не1!0змунинн1.1М д[!иженнем.

Дли состаЕттения ди()ференннал1.ных уравнений д1И1ження систели,! восно.тьзуемся уравнениями .1а|ранжя. Кинетическая эиер1ия ciictcmi.i равна

г= - [/,з^-/,е^. (3)

Момент 1И1Срнии /[ относительно оси z (рис. а) складывается из момента HiiepiHin /q всех вращающихся чаоей, кроме щаров (эют .момент инернит! ociaercn нен:п1еи1Н.1м при изменении утла ср), и нз .момента HHcpiUHi нюров, заннсящего от yi ;ia со:

/, = / --2 2/ sin-ci. (4)

Момент HHepiHiH /.2 шаров относиre.Tinio оси х (риса) равен

/.,==2 ;Л (5)

Таким образом, кинетическая энергия системы выражается в обобщенных коо[)динагах в виде

\ [(/ .,- ЧтР siHcp) 3 -.- 2от/Ч-. (6)

Г1ерех()Д1!м к си1реде.теи!к) oOouuumhh.ix сил. Первая обобщенная си.та Q, ма.\о,чп ic.i к.-н; ко-(11фнниеп г при соотметс i ну кчно.м иоз.мож-ном нере.мещенни в 1!ы1)ажег1н1 дтя э.тсменгарной работы:

гг,.--/.,.аг. (7)

С.тедовате.н.ко, обобш.епн.тя си.та бу.тет

Q -Л (ср-срД (8)

[5г()рая обобщенная сила находится как частнп!; проигиюдная от ногенцнала но у1лу ср. Дейст1И)тс.тьно, при и;?мененин yiJia ср работу coiicpHiaor только сила тяжести шаров, так как нентр тяжести ocra.TbHi.ix вранитющихся мастей системы остается нсн:!ченным, а работа .мометл I., при и:тмене1Н1И yr.ia ср раина нулю. Тогда с точностью до пронзнольно!! постоянной 1ь)тснниа.;н>ная энер11я шаров равна

и= - 2mgi cos-f. (9)

(доставляем, далее, уравнения Лагранжа:



656 УСТОЙЧИВОСТЬ РЛВИОВЕСИЯ и МЛЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 1гл. хш

Рассматривая малые колебания системы около положения певоз-Myuiennoro движения (2), полагаем:

9 = 3 :-39, p = p -LSj5 = u) L3p. (12)

Внося значения неременных в уравнение (10), находтгм:

ЧтГ' sin :р cos ,i ф 5 -1 = - А (:? - с?о) (13)

или, учитывая (12),

2тГ sin (-fо - 3?) cos (-fo Зср) Ц (Й„ -:- ИЗ)

[/о -f 2тГ s\n (ср 3-j)l оЗ = - /,. Sep. (14)

Для составления уравнения малых дви-женнй подсчитаем все члены С -ючностьк) до величин первого порядка мл.-юстн включительно, полагая sinufo-,p, cosop-1. Находим после пес.южных преобразований:

(/j - 21пГ sin9() о ;i -[- ml- sin 2-0 ,%о^ - /г о:р = О (15) Второе дифг[1сренииа.-м,НОС уравнение мальгх движений находим из (И): /.j-lp - 3 тР 2 sin c-os ;р = - 2w5-/ sin 9. (16)

В1ЮСЯ в это уравнение зпаче1Н1Я (12) и (5), но.чучаем:

ц -- -(3,:-8p)sin(2cp 2o-9)-:- -.sintcpo :-8r) = - (7)

Раскрываем скобки и нодсчитьшасм для ма.тых дшгжсний все члены с точностью до величин первого порядка малости включительно. После несложных преобразований, учитьшая равенство (2), имеем:

oip -Posin 2-i -3p-}- COS-9 -cos 29 3--P = 0. (18)

Таким образом получена сисгсма двух дифференциальных уравнений (15), (18) малых движений системьг

Для получения характеристического уравнения эгой системы линей-1ц>1х уравнений с постоянными коэффициентами ищем решения в виде

3-9 = Cif , b=Cie , (19)

где С], Ci, р - постоянные ве.тичины. Подставляя эти значения в уравнения (15), (18) и сокращая на общий множ1гге.ть е' , получаем характеристическое уравнение

(2 + sinV к I - г 2 с. Ьо - Ь -: 4.V --

+ ;7;;?oSin2cp = 0. (20) Кратко это уравнение :1;шисьшаегсл в виде

а,р' -a.j) ;- 30, (21)



УСТ0МЧИВ0СТ1. ДВИЖЕНИЯ

где

(22)

Условие Гурвица уравиепия третьей степени

а

отрицательности имеет вил:

вещественной масти корней

О О

if. О

= а,а.. - aoa,i>0.

= а,(а,а, -а;,ао)>0.

(23)

Так как Гурвица

в да1И10м слумас а„/0, аоО, aA/>Q, ai=0, то условия не улоплетворяются, и, следовательно, малые движе1П1Я регулятора неустойчивы. Этот с()акт, установлепньн! сравните.тьно давно экснсримента.тьно, примолит- к необходимости вводить дополнительные .чвепьн в систему [)егулпрова1птн.

3. У с т о й м и Е! о с т ь д в и ж е н и я при наличии г и р о с к о-н н м е с к н X с и л. Система, неустойчивая сама но себе, может бьтть сделана устойчивой но це[)ному приближению путем введения гироскопических сил только в том ciynae, если число неустойчЕЩЫХ степеней свободы четно. Эта теорема была доказана Кельвином.

Гироскопическая стабилизация движения возможна то.тько д.тя консернативной системы. Диссипативные си.ты, как бы малы ни бы.ти, деПсшуя достаточно до.тго, уничюжат устойчивость, созданную гироскопическими силами. Поэтому устойчивость, создащпя гироскопическими силами, называется времетюй , в то время как устойчивоси. icOHcepBaiHBHOii системы является вековой .

Таким образом, диссипативные сн.ты усиливают устойчивость движения при действии одних консервативных си.т и разрушают усгоИчи-вость, ес.тн она дост1им1ута благодаря добавлению гироскопических сил.

При решении задач на н с с л е д о в а н н е у с т о ii ч и в ости движения и [) и действии гироскопических сил рекомендуется с .т е д у F0 ц а я последовательность л е й с т в н й:

1) определяем число степеней свободы сисгемы и выбираем обоб-п1С1Шые координаты;

2) находим неиозмуикешюе движс1Н1е системы;

3) задаваясь малыми отклонениями нама.тьных устовнй движения, составляем дифференциальные уравнения нозму|цепно|-о движения, пользуясь уравнениями Лагранжа и.ми обниьми теоремалт дипами.:и;

4) полагая, что обобшеппые координаты и обобщенные ско[)ости в возмуЕцешюм движении отличаются от значений в невозмунтенпом



устойчипост!) РлпнонР.сня и мллыг. дпижЕпня СИСТЕМЫ [ГЛ. xni

движении на величины нервсчо порядка .малости, линеариа!1руем дифференциальные уравнс1Н1я, отбрасывая слагаемые второ1Ч) и более высоких порядков малости, вычитаем из дифференциальных уравненнй лозмущенного движения соответствующие уравнения невозмущенного движения;

5) исследуем устойчивость системы но первому приближештю не-посредствс1НН,1м интстрировачием дифференциальных уравнений воз-.мущепного движения или применяя критерий .Гурвица к дифференциальным уравнениям в вариагшях.

Задача 466. Potoj) веса Q вращается с постоянной угловой скоростью (U вокруг собственной оси симметрии, совпадаюитей с испо-

движи()([ вертикальной ocbkj jc. Точка О, являющаяся центром сфс[)и-ческой опо[.>ы ротора, неподвижна. Центр тяжести ротора С находится на 1и,1соте 0С = 1. Расстояние 0,4, = /; буквой .4, обозначена крайняя нижняя точка рогора. .Момент инерции ротора относительно оси симметрии равен Л, а момент ннерцни относительно оси, и[)оходящсй через точку О н перпендикулярной к оси симмефни ротора, равен В.

Исс.тедовать устойчивость вертикального но,тожсч1ия осп ротора.

Р е И1 с н н с. Ротор представляет собой систему с двумя степенями свободы. В|,1бсрем в качестве обобщенных [координат координаты j 2, крайней точки ротора .4,. Для соста1!ленпя днф()ерснциальньгх у[)ап-нений движения применим тсо[)ему количеств ун1нжерц|я отностельно

к зплачс Kifi.

об изменепии 1лавног() неиолы1,к1Н,\ осей у,

(Сохраняя обозначении,

момента

принятые в задаче 454, находим:

(,4<o-/;3) = -Q=j .

Внося в Э1И уравнения значения уг.мов р и у:

получаем:

(О

(2) (3)

Вух + Awii = Ql.<i.



ei ycTOi ;iiHB0CTi, цвижр.иия 659

Кососимметричные члены (- /Ьор,) и соотнетстпуют гиро-

скопическим силам.

Г^ешемие этой системы однородных линейных ураине1н1И с постоянными кoэффициeнтaпl най.чем, ниодя комплексную nepeMeiHiyio

= (5)

нюжая урапненне (4) на i и складывая ето с уравнением (3), имеем:

В'/. <ri/Wi, - Q/ik = Q. (6)

Состав.1яем характеристическое уравнение

BSi.Au>S-Ql., = Q. (7)

Опредсляе.м корни этото ураЕншния:

vSi -----------

Если 1п.1ио.1нено ус.кпя:

.rv>47yq/ (10)

то корни являются чисто mihimblmh величинами и мотут бытн .тля краткости записаны в виде

s, = i/t Siik (И)

т.че

/ ------------(li)

(13)

- BOHiecгненпыо чпс.и. П этом счучае реиюпие у1)авнеиия (G) бу.тет

A = /j,-.-i-д,>., (14)

где П\ \ Ih, - кС)мплекст.1ь-произвол!.иые П0СТ0Я1ПП.1С !И1да /;, -/7, -- \Ву I)., - /]., -i/]j. Тогда уравнение (14) примет вид

/.(Д, i/3;,)(cos kit-- i sin kii)--{B.A- 4) (cos i <i!i kj). (lo)

Далее iiaxo.iini исхоЛ!Н|е переме!Н1ые и Z, отлолпн в ypaiuie-Hini (15) вещсгтиснную часи. от м!!имоП:

= si!i /. cos/г, \-BiS\\\k,i ; -cos/,/, (Ki)

1 = Hi cos /.if -~ /i, si!i kit Я, cos kJ - Bi sill (1 7)

H этих ypaiHieiHiMx /i /?. /.j. /J - произвол!.m.ic norточтн.гс И!по- Р1!ро1!а!!!1я, 01!ре,1,с.!яс.мыс !10 пачальн(.1м данны.м ук J.iu, -и. Мри



660 VCTOiiMlBOCTIi РАВНОПЕСИЯ и малые движения СИСТЕМЫ [гл. Х1И

= 0. Тяк как Jl и Zi ЯВЛЯЮТСЯ линейными функциями косинуса и синуса, то координаты нижнего конца ротора не растут с течением времени.

Итак, при выполнении условия (10) точка А[ conepniacT периодическое движение (полагаем, что Л, и соизмеримы), ск.тадыпа-ющееся из четырех гармонических колебаний. Следовательно, если уг.товая скоросгь ротора

<..>2-1, (18)

что вытекаег т (10), то вертикальное положение осп ротора устойчиво, несмотря на то, чго ценгр тяжести занимает наивыснгее гюло-женне и равновесие такого же певратающегюся стержня неусто!!чино. Гпроско1П|ческие силы стабилизируют неустойчивую консерпатинную смсте.чу. Рассмотрим далее случай, когда

(О

<2--.;;. (19)

1\орнн харак'тернстичсского у1)авнснич (7) бу.тут- комплекС1н.1Ун1 числами вила

.9,= - а-{-[&, s<i = a-- и>, (20)

а = ->0, Ь = <0. (21)

В этом случае общее решение уравнения (6) будет

X = D,ci--ZV. (22)

Здесь, так же как и в пер1юм случае, /J,=:/?,-!-/Я 0. = Я,--ifij. Следовательно, ypainienne (22) 1юс.ме этой замены HjiMer вид

X = (В, -f Шз) е- (cos Ы -f I sin bt) -L- (Я^ - гЯ.-,) с (cos W -U J sin bl).

(23)

-сходныс перемент>1е j, и 2, получим, огдслия всщесгвенную часть от мни.мой:

jr, = е- (Я, sin bt -}- /?з cos hi) - е (Я. sm bt - В, cos bt), (24) г, (/?, cos bt - Д, sin bt) - e (B cos bt - Я4 sin W). (25)

Вторые слагаемые в этих уравнениях содержат множитель е и, с.те-довательпо, им соотвегствуктг все возрастающие колебания. Вертикальное положение оси ротора в этом случае неустойчиво.



1 ... 62 63 64 65 66