|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Аналогично получаем для второго главного колебания: где обозначения р р, введены для краткости записи. Следовательно, общее реше1ше (15) прини.маег вид , = p,Z), sin(A,-a,)-b35,D<jSin(A5,i + a2), q.i = Di sin (Ai-j-ai)--- sin (A.-j-aj). ) Произвольные постоянные D Dj, a определяются no начальным условиям движегнш. Согласно условиям задачи при = 0 9i = 0, 7i = 0, 9.2 = 0, 75i = o- (21) Внося эти значения переменных в уравнения (20), находим: piZ)i sin tZjPjDj sin а., = о, Dj sin я,-)-sin з. = о, Pi/5i/>i cos ai-j-p2D2A.2 cos a<j=0, DiAi cos .-[-О^кч cos as=T;o, / откуда определяются все произвольные постоянные интегрирования: а|=а.2 = 0, т. е. начальные фазы обоих главных колебаний равны нулю, а амплитуды главных колебаний будут: Движение системы, согласно (20), представляет наложение двух гармонических колебаний с разными частотами. Для составления дифференциальных уравнений движения можно применить и другой способ, используя основной закон динамики. Рассмотрим произвольное положение системы, определяемое обобщенными координатами q, q (рт;с. б). Тогда, учитывая упругие силы пружин, составляем дифференциальные уравнения движе1шя каждого груза: m\(li = c.{q.i - q{) - c,qu nh% = -c.iq-q). (24) где 9, = fi, sin(A:,a,); = D, sin (А, + а,) (16) описывают первое главное колебание системы, а 9, = fi,sin (V + a-i); q<, = DiS\n{kit-[-(ii) (17) - второе главное колебание. С другой стороны, отношение амплитуд в первом главном колебании находится из (10) подстановкой k = ky. Oqi j dqi dqi где qi - обобщенные координаты системы, Т-кинетическая энергия системы, П - потенциальная энергия, (t) - возмущаюп1ие силы. Если система имеет одну степень свободы, то 1=\, если две, то 2. Для случая двух степеней свободы подстановка 7 и П в уравнения (1 *) приводит к системе дифференциальных уравнений: ai,9i-f aie9s + c gi + c,5g2 = WiSin(;?-f 8), j Ь + йазЯг-\-СпЯ\-{-cq sin (pt-{- 8) где возмущающие сплы взяты изменяющимися по синусоидаль- 1Ю,му закону (часто встречающийся случай, рассмотрением которого мы ограничимся ввиду сравнительной простоты математических выкладок и в то же время значительного практического значения): Q, [i)Hi sin (pt + b), Qit) = H, sin (ptb). (3*) Общее решение системы (2*) дифференциальных уравнений складывается из общего решения од1юродной системы уравнений и частного решения неоднород1Юй системы. Общее решение однородной системы представляет ранее рассмотренные свободные колебания и находится согласно методам, приведенным в §§ 2 и 3 этой главы. Поэтому мы остановимся иа определении частного решения этой системы, представляющего вынужденные колебания системы. Частное решение ищем в виде: 9i = DiSin(/?-f 8), q=D, sin {pt-\rb). (4*) Эти уравнения идентичны уравнениям (5) и (7), полученным при по-MOuiH уравнений Лагранжа. Применение основного закона динамики ведет в данной задаче быстрее и проще к составлению дифференциальных уравнений движения, однако первый путь - использование уравнений Лагра[1жа в обобщенных координатах является более общим методом. § 4. Вынужденные колебания системы с одной и двумя степенями свободы под действием синусоидальных возмущающих сил Если на систему действуют внешние возмущающие силы в течение всего процесса колебаний, то возникают сложные колебания, являющиеся результатом наложения вынужденных и свободных колебаний системы. Дифференциальные уравнения движения системы могут быть составлены применением уравнений Лагранжа § 41 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕВАНИЯ СИСТЕМЫ 603 Внося ЭТИ значения в уравнения (2*), приходим к системе алгебраических уравнений откуда определяются неизвестные Dj, Z?. Определитель этой системы обращается в нуль: (с„ - Аи) i<-i2-pa ) - (с ~р^а„У = 0, (6*) при резонансе, когда p=:ki или p = k. В этом случае частное решение системы не может быгь найдено в форме (4*). Дифференциальные уравнения движения системы могуг быть также составлены с помощью общих теорем динамики. При решении задач на определение вынужденных колебаний рекомендуется следующая последовательность действий. Первый способ - использование уравнений Лагранжа: 1) выбираем обобщенные координаты и составляем выражение кинетической энергии системы; 2) находим выражение потенциальной энергии или вычисляем обобщенные силы; 3) составляем диффере1щиальные уравнения движения системы, внося значе1шя кинетической и потенциальной энергий (или обобщенных сил) в уравнения Лагранжа; 4) ищем частные решения дифференциальных уравнений движения системы и находим значения амплитуд обобщенных координат; 5) приравнивая нулю знаменатель в выражениях амплитуд, находим значения частот возмущаюи1ей силы, при которых возникает резонанс. Второй способ - п р и м е н е н и е о б щ и X т е о р е м динамики: после выбора обобщенных координат системы непосредственно составляются дифференциальные уравнения движения, исходя из избранных теорем динамики. Дальнейший ход решения тот же, что и при нервом способе. Задача 451. Квадратный ящик А массы /и, лежит на горизонтальной, абсолюпю гладкой плоскости. Внутри ящика в нплиндрн-ческом отверстии радиуса г покоится шарик В (рис. а) массы / о. размерами которого можно пренебречь. Янтик соединен с вертикальной стеной пружиной, коэффициент жесткости которой равен с. Пренебрегая трением между шариком и внутре1И1ей поверхностью ящика, определить вынужденные колебания системы, позникак)И1ие иод действием периодической горизонтальной силы F- Решение. Выберем ось х с началом в ио/южении равновесия центра О яп1ика и обозначим через о угол отклонения радиуса 0В\ от вертикали. Обозначая через давление шарика на ящик, направленное но радиусу 0Z?, напишем дифференциальное уравнение движешь ящика: w,.r = FoSinco/ - cjc-j-A/sin 9. (1) Дифференциальные урап[1е!Н|Я абсолютного движения шарика составим в проекциях па OBi и на перпендикуляр к OBi. Абсолютное д|шжение шарика складывается из переносного поступательного движения вместе с ящиком и относительного вращения вокруг центра О. g хЛЛЛЛЛЛЛМЛЛАЛЛЛЛ  .г  М задаче 4о!. Кориолисово ускорение шарика равно нулю, так как переносное движение является поступательным. Дифференциальное уравнение движения шарика в проекции па перпендикуляр к ОВх будет: riii (гЗ -р X cos 9) - - m.ig sin 9; (2) дифференциальное уравнение движения в проекции на ОВу имеет вид viq (г-- - .,v sin о) = N - / Qg cos э. (.5) Г'ешап совместно эги тра уравне1шя, исключаем N: {nil -m.i sin-f)X -;~ сх - in./i sin 9 - in-gsin 9 cos э = Fq sin wt, (1) r3-;-x cos 3--/Tsin 9 = 0. (5) Яга система нелине{нлх дифференциальных уравнений не .может быть проингегрирована в замкнутом виде. Ограничиваясь малыми колебаниями, для кото[)ых можно положить приближенно sin 9 9, coS9p 1, и пренебрегая малыми величинами выше первого порядка малости, представим уравнения (4) и (5) в виде WjX-\-сх - пцg = Fo sin wt, л= + Г99 = 0. S 41 ПЫНУЖДЕННЫЯ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ Обозначая для краткости - = k\ = = /г, имеем: X -)- А*л: - X g-f = /г sin со, x-{-r--\-g-:( = Q. (8) (9) Вынужденные колебания определяются частным решением этой системы. Ищем частное решение п оиде a:=D, sin cof, 9 = Dsino). (lO) Внося эти значе1шя в (8) и (9), после несложных преобразований находим: D, (/с* - со) - X= , D.co - j - (ru, - .) = 0, (к- - ш^) ijrr .ro>-) - Xg.o- у ,у /УУ У':> А (12) (13) (А- - Ш-) (g- - ГЫ-) - Agio- Резонанс наступит при значениях частоты возмушаюитей силы, отвечающих обран|,ению в нуль знаменателя в (12) и (13): (А^- (0) (g - г О)) - -i.gti? =0. (И) При и>-= - янинс остается п покое (Dr = 0), шарик колеблется один. Задача 452. Груз Р, (рис. а) подвешен к неподвижной точке А при помощи пружины, коэффициент жесткости которой с,. К трузу Р] приложена вертикальная воз.мущающая сила Q = = Q sinu)?. Груз Р^, являющийся вибротасителем, подвешен к грузу Pi при помощи пружины с коэффициентом жесткости с^ 11ре1юбрегая массами пружин, определить коэсрфициент жесткости и вес второго груза Р^. при которых амплитуда вынужденных колебаний первого груза будет равна нулю. Решение. Выберем положение равновесия гру:чоп за начало отсчета (рис. б). Система имеет две степени свободы. За обобщенные I-Т1 К задаче 452. Согласно уравнению (9), амплитуда вынужденных колебаний первого груза обращается в нуль, если выбрать коэффициент жесткости второй пружины Cj и вес Ра так, чтобы с,- = 0. (11) координаты принимаем отклонение первого груза от положения равновесия X, и смещение второго груза от своего положения равновесия ATj. Тогда к первому грузу будут приложены три силы: упругая сила верхней пружины Fi=-CiXi, (1) упругая сила нижней пружины F, = c(x - Xi), (2) возмуи1,ающая сила Q = QoSinu) (3) Ко второму грузу приложена одна сила: упругая сила нижней пружины F3= -с,{х^ - Хх). (4) Составляем дифференциальные уравнения движения грузов xi = - CiXi + Са {х^ - JC,) + Qo sin wt, (о) = -c,(x,-Xi). {G) Частное решение этой системы, определяющее вынужденные колебания грузов, ищем в виде Л , = Dl sin (lit, Х9 = D2 sin wi. (7) Подставляя значения переменных (7) в уравнения (5) и (6), находим: (c.-f с, - , JD, cjD, = 0, -с,Ог-[с^-ш')о, = 0. (8) Из этих уравнений определяются величины амплитуд вынужденных колебаний Di = ---р\, р--. (У) Таким образом, при заданной частоте возмущающей силы и) можно всегда подобрать коэффициент жесткости добавочной пружины и вес второго груза так, чтобы погасить вынужденные колебания первого груза. При этом следует остерегаться резонанса, который iiaciynaeT при обращении в нуль знаменателя в (9) и (10) [с, -Г 5 - j f-i -j - -i = 0- (12) Значение угловой скорости о, определяемой из равенства (11), пе обращает в нуль зна.менатель в (9) и (10) и, следовательно, не удовлетворяет (12). Однако, не всегда удается точно поддерживать одно и то же значение ш. При случайном изменении угловой скорости и возможно во3щкновение опасных резонансных колебаний. § 5. Влияние гироскопических сил и сил вязкого сопротивления на свободные и вынужденные колебания твердого тела с двумя степенями свободы Р. Влияние гироскопических сил на свободные колебания системы с двумя степенями свободы. При составлении дифференциальных уравнений малых колебаний с учетом гироскопических сил можно применять теорему об изменении главного момента количеств движения относительно пенодви-жных осей координат -t-i x(D; -i=i-.(P; (1*) *-=l где Lx, Ly, i -главные моменты количеств движе|щя огноснгельно п неподвижных осей координат х, у, z; У] ft{Fl) - главные моме1ггы внешних сил относительно тех же осей. Если осесимметричное твердое тело, имеющее неподвижную точку, вращается с большой угловой скоростью ш вокруг оси симметрии, которая совпадает при равновесии тела с неподвижной осью х, то с точностью до величин первого порядка малостп главные моменты количеств движения относительно неподвижных осей координат будут: где А - момент инерции твердого тела относительно оси симметрии, В - момент инерции относительно любой оси, перпендикулярной к оси симметрии и проходящей через неподвижную точку, р - малы() yro.ii поворота оси симметрии, отсчитываемый от неподвижной оси х 6 плоскости ху, Y - малый угол поворота оси симметрии, отсчитываемый от неподвижной оси х в плоскости xz. При решении задам и а свободные колебания твердого тела, вран,ающегося вокруг своей оси, рекомендуется следующий порядок действий: 1) выбираем две системы координат - неподвижную и подвижную - с началом в неподвижной точке; 2) вычисляем главные моменты всех внешних сил относительно неподвижных осей х, у, z а главные .моменты количеств движения относительно этих осей; 3) пользуясь теоремой об изменении главного момента количеств движения относительно осей х, у, z, находим дифференциальные уравнения малых колебаний системы; 4) задаемся частным решением системы и подставляем его в дифференциальные ургвнения движе1шя. Находим уравнение частот, из которого определяем собственные частоты системы; 5) находим, да.тее, отнои1е1ше амплитуд колебаний, соответствующих каждой частоте; 6) состав.тяем уравнения первого и второго главных колебаний и обн1ее реше1ше как сумму главных ко.тебаний. Задача 453. Ротор, имеющий неподвижную точку О, вращается с угловой скоростью (О вокруг оси симметрии Ос и сове1)шает малые ко.теба1щя вокруг неподвижных осей у, Z. Найти главный момент количеств движения ротора с точностью до величин первого порядка малости. Момент иперции ротора относительно оси Ос равен Л, а относительно главных осей инерции а и b равен В. Решение. Выберем неподвижную систему координат xyz с гаталом в неподвижной точке О и подг.ижную систему осей а, Ь, с, являющихся главными осями инерции тверд010 тела в точке О. Найдем пересечение плоскости ас с плоскостью ху - линию узлсв ON и будем определять поло:-кение по.вияпой системы осей при помощи углов р и Тогда составляющие угловой скорости ротора будут: ш, направленная но оси Ос, р, напргвлс1П1ая по оси z, \, панравле1Н1.тя в отри-цатс.тьнук сторону оси Ob. Находим проекции угловой скс1)()стк ротора на главные оси инернии а, Ь, с:  К задаче 453. U(: = u)--I 3 sin 7, (Од = pcos-;, (0,= -. Полагая углы р и , а' также их производные ма.тыми величинами первого порядка, найдем значения проекций угловой скорости на глав- Далее находим проекции главного момента количеств движения на неподвижные оси: /. = cos 7 cos 3 - /.д sin у cos р - L sin p я < Аш - L, =cos 7 sin p - L sin 7 sin 3 -;-cos 3 я (4j Z, = Ac sin 7 /. cos 7 /1ш7 - j- Zil Отбрасывая члены, порядок малости которых выше первого, окончательно получаем: Z.=Лco, Z. = .4(o3-Z?7, Z. = iu7-f Др. (о) Задача 454. 1.111НН1дель веретена закреплен пенодвижно в точке О и вращается в упруго закрепленном подшипнике А. Центр тяжести шпинделя находится в точке С (рис. а) на расстоянии Z<j от точки О. Расстожше между снорйми /. Коэффициент жесткости с ynpyroio поля, в котором перемешается нижняя опора Л, одинаков в любом горизонтальном направлещщ. Зная моменты инерции А, В относительно главных осей ине1)ции, нроходяиц1Х через точку О, найти малые колебания ншин.теля око.то положения равновесия. .Угловая скорость <я враисения инишделя вокруг оси сим.метрии постоянна по величине. Р е щ е ц и е. Выберем неподвижные оси координат xyz (рис. а) с центром в ненодвижной точке О, направив вертикальную ось х но оси сн.чметрии шниндс.тя i; по.тожении равновесия. На шпиндель действуют внешние силы: реакция R опоры А, ре-аки.ия Опоры О и сила тяжестт Q. Составим главные моменты всех виепших сил относительно осе:1 х, у, z, дакая шпинделю малые отклонения на угол р вокруг оси z и соответственно иа угол 7 вокруг оси у. Главный .момент внеш[их сит относительно оси j; равен ту (f) = - Qz ~ clzy = Qfz,- clz (I) к-л ные оси инерции с томностью до малых величин первого порядка включительно. Тогда sinyy, cosy?! и, далее. (О, =г (О -1-р - Y- ), (о = р, 0)=-т- (2) Главные моменты количеств движения относительно главных осей инерции аЬс будут: I.a = l, Ц-==-В^, 1,= Аш. (3) где 2, - координата точки А, а - координата центра тяжести (рис. 6). Из рис. б определяется и значение угла 7: Далее находим главный момент виептих сил огносительно оси z (рис. в). ] т, (FP = Qy, + ф, = - Q f у, + с1у,. Угол р определяется формулой (см. рисунок): 1= -Ц. Так как согласно условию шпиндель вращается равномерно вокруг оси симметрии: ш = const,TO главный момент виеш-них сил относительно оси х равен нулю.
 г i -  Пользуясь теоремой об изменении главного момента количеств движе1шя шпинделя относительно осей у, z, находим: £[Aw-i-i-B]=={cl-Qj)y,. 1 ... 57 58 59 60 61 62 63 ... 66 |
 |
 |